sviluppo Calcolare le soluzioni del seguente sistema x + 1 y  =  a y + 1 x  = b devo ridurre il sistema a forma normale; avendo delle frazioni devo fare il minimo comune multiplo Avendo l'incognita al denominatore devo porre le condizioni di realta' C.R.         x ≠ 0         y ≠ 0 Moltiplico in croce (equivale a fare il m.c.m. ed eliminare i denominatori) x + 1  =  ay y + 1  =  bx sposto i termini con le incognite prima dell'uguale, quelli senza dopo l'uguale e chi salta l'uguale cambia di segno x - ay  =  -1 - bx + y  =  -1 sopra e' a posto; sotto cambio di segno x - ay  =  1 bx - y  =  1 Il sistema e' ridotto a forma normale Applico il metodo di Cramer: scrivo a destra la matrice completa e ricavo la x 1 -a 1 b -1 1     x = 1 1 = 1·(-1)-(1)·1 = - 1 - 1 = -2 1 -1 1 -a 1·(-1)-(-a)·b -1 + ab ab - 1 b -1     y = 1 -a = 1·(-1) - 1·(-a) = -1 + a = a - 1 1 -1 1 -a ab - 1 ab - 1 ab - 1 b -1 con la condizione ab - 1 ≠ 0 cioe' a ≠ 1/b la soluzione e' x = -2 ab - 1 y = a - 1 ab - 1 Se a = 1/b (sostituisco nella soluzione della x) Cramer e' della forma numero/0 quindi impossibile Da notare che se sotituissi sulla y dovrei porre le condizioni per b perche' potrebbe essere sia impossibile che indeterminato; pero' se la x e' impossibile coinvolge anche la y e quindi il sistema e' impossibile Per le condizioni di realta' dovremo porre le condizioni x ≠ 0 → -2 ab-1 ≠ 0 sempre vera per ab≠1 y ≠ 0 → a - 1 ab-1 ≠ 0     → a ≠ 1 Raccolgo i risultati se a = 1/b il sistema e' impossibile se a = 1   il sistema e' senza significato perche' contrario alle condizioni di realta' se a ≠ 1/b ed a ≠ 1 ottengo x  =  -2 ab - 1 y  =  a - 1 ab - 1