sviluppo
Risolvere il seguente sistema
Il sistema deve essere ridotto a forma normale: eseguiamo le operazioni indicate:
moltiplico per eliminare le parentesi tonde
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1
8 |
x - |
1
4 |
y = |
1
5 |
x - |
1
5 |
z |
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faccio il m.c.m. nella prima e terza equazione; nella seconda porto il termine con l'incognita z prima dell'uguale
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5x - 10y
40 |
= |
8x - 8z
40 |
|
|
|
3x - 2y - 2z
6 |
= |
18
6 |
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tolgo i denominatori
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5x - 10y = 8x - 8z |
| x + 4y - 2z = -2 |
| 3x - 2y - 2z = 18 |
porto i termini con le incognite prima dell'uguale
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5x - 10y - 8x + 8z = 0 |
| x + 4y - 2z = -2 |
| 3x - 2y - 2z = 18 |
sommo i termini simili
| |
3x + 10y - 8z = 0 |
| x + 4y - 2z = -2 |
| 3x - 2y - 2z = 18 |
utilizziamo il metodo di Cramer applicando poi la regola di Sarrus per calcolare i determinati di ordine 3
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3 |
10 |
-8 |
0 |
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| 1 |
4 |
-2 |
-2 |
| 3 |
-2 |
-2 |
18 |
| x = |
|
0 |
10 |
-8 |
|
= |
| -2 |
4 |
-2 |
| 18 |
-2 |
-2 |
| |
| |
3 |
10 |
-8 |
|
| 1 |
4 |
-2 |
| 3 |
-2 |
-2 |
| y = |
|
3 |
0 |
-8 |
|
= |
| 1 |
-2 |
-2 |
| 3 |
18 |
-2 |
|
| |
3 |
10 |
-8 |
|
| 1 |
4 |
-2 |
| 3 |
-2 |
-2 |
| z = |
|
3 |
10 |
0 |
|
= |
| 1 |
4 |
-2 |
| 3 |
-2 |
18 |
|
| |
3 |
10 |
-8 |
|
| 1 |
4 |
-2 |
| 3 |
-2 |
-2 |
Calcolo il determinante ai denominatori (i denominatori sono tutti uguali, quindi lo calcolo prima)
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= 3·4·(-2) + 10·(-2)·3 -8·1·(-2) -3·4·(-8) - (-2)·(-2)·3 -(-2)·1·10 =
= -24 - 60 + 16 + 96 - 12 + 20 = 36 |
Calcolo il determinante al numeratore della x
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= 0 + 10·(-2)·18 -8·(-2)·(-2) - 18·(4)·(-8) + 0 - (-2)·(-2)·10 =
= -360 - 32 + 576 - 40 = 144 |
quindi
| x = |
144
36 |
= 4 |
Calcolo il determinante al numeratore della y
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= 3·(-2)·(-2) + 0 - 8·1·18 -3·(-2)·(-8) -18·(-2)·3 -0 =
= 12 -144 - 48 + 108 = -72 |
quindi
| y = |
-72
36 |
= -2 |
Calcolo il determinante al numeratore della z
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=3·4·18 + 10·(-2)·3 +0 -0 -(-2)·(-2)·3 -18·1·10 =
= 216 -60 +12 -180 = 12
|
quindi
| z = |
12
36 |
= |
1
3 |
otteniamo
| |
x = 4 |
| y = -2 |
| z = 1/3 |
|