sviluppo Dire se il seguenti insieme in ℜ e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato I = { x ∈ ℜ / x(k) =1 - 2-k, ∀ k∈N } Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) =1 - 2-k per ogni k∈N; per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1 → x(1) = 1 - 2-1 = 1 - 1/2 = 1/2 Per k = 2 → x(2) = 1 - 2-2 = 1 - 1/4 = 3/4 Per k = 3 → x(3) = 1 - 2-3 = 1 - 1/8 = 7/8 Per k = 4 → x(4) = 1 - 2-4 = 1 - 1/16 = 15/16 ..................................... ottengo
non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti 3/4 e 7/8 tra loro non esiste nessun elemento della successione E' limitato : infatti se considero ad esempio 0 esso e' un minorante per I e se considero ad esempio 2 esso e' un maggiorante L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente e' comunque un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore il punto 1/2 e come estremo superiore il punto 1 E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva un insieme bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore L'estremo inferiore1/2 fa parte dell'insieme , quindi e' anche minimo l'estremo superiore 1 non appartiene all'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N quindi questo insieme non ha massimo un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme |