sviluppo

Dire se il seguenti insieme in e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato

    I = { x ∈ ℜ / x(k) =1 - 2-k, k∈N }


Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) =1 - 2-k per ogni k∈N;
per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti

Per k = 1     → x(1) = 1 - 2-1 = 1 - 1/2 = 1/2
Per k = 2     → x(2) = 1 - 2-2 = 1 - 1/4 = 3/4
Per k = 3     → x(3) = 1 - 2-3 = 1 - 1/8 = 7/8
Per k = 4     → x(4) = 1 - 2-4 = 1 - 1/16 = 15/16
.....................................

ottengo
1

2
3

4
7

8
15

16
31

32
63

64
.... 2k - 1

2k
....
Si tratta di una successione crescente in che si avvicina sempre piu' al punto 1 senza mai arrivarci , abbiamo quindi un insieme non continuo
non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti 3/4 e 7/8 tra loro non esiste nessun elemento della successione


E' limitato : infatti se considero ad esempio 0 esso e' un minorante per I e se considero ad esempio 2 esso e' un maggiorante
L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I
L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I
L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente



e' comunque un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore il punto 1/2 e come estremo superiore il punto 1
E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva
un insieme bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore



L'estremo inferiore1/2 fa parte dell'insieme , quindi e' anche minimo
l'estremo superiore 1 non appartiene all'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N quindi questo insieme non ha massimo

un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme
un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme