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sviluppo Dire se il seguenti insieme in ℜ e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato I = { x ∈ ℜ / x(k) = (-2)k , ∀ k∈N } Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = (-2)k per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1 → x(1) = (-2)1 = -2 Per k = 2 → x(2) = (-2)2 = +4 Per k = 3 → x(3) = (-2)3 = -8 Per k = 4 → x(4) = (-2)4 = +16 ..................................... ottengo
non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti -2 e +4 loro non esiste nessun elemento della successione Non e' limitato infatti non esiste in ℜ un minorante od un maggiorante quindi poniamo noi che -∞ e' un minorante e che +∞ e' un maggiorante (lo poniamo noi per convenzione perche' -∞ e +∞ non appartengono ad ℜ) L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente e' un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore -∞ e come estremo superiore +∞ E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva un insieme bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore (in questo caso poniamo noi che -∞ e' l'estremo inferiore e +∞ e'l'estremo superiore L'estremo inferiore -∞ non fa parte dell'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N) quindi l'insieme non ha minimo l'estremo superiore +∞ non appartiene all'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N quindi questo insieme non ha massimo un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme |
