sviluppo Dire se il seguenti insieme in ℜ e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato     I = { x ∈ ℜ / x(k) = 1 (-2)-k , ∀ k∈N }     Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = 1 (-2)-k per ogni k∈N per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1     → x(1) = 1 (-2)-k = 1 (-2)-1 = 1 -1/2 = -2 Per k = 2     → x(2) = 1 (-2)-k = 1 (-2)-2 = 1 +1/4 = +4 Per k = 3     → x(3) = 1 (-2)-k = 1 (-2)-3 = 1 -1/8 = -8 Per k = 4     → x(4) = 1 (-2)-k = 1 (-2)-4 = 1 +1/16 = +16 ..................................... ottengo -2 +4 -8 +16 -32 + 64 .... (-2)k .... Si tratta di una successione oscillante in ℜ che diverge sempre piu', da un lato verso -∞ e dall'altro verso +∞ non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti -2 e +4 loro non esiste nessun elemento della successione Non e' limitato infatti non esiste in ℜ un minorante od un maggiorante quindi poniamo noi che -∞ e' un minorante e che +∞ e' un maggiorante (lo poniamo noi per convenzione perche' -∞ e +∞ non appartengono ad ℜ) L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente e' un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore -∞ e come estremo superiore +∞ E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva un insieme bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore L'estremo inferiore -∞ non fa parte dell'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N) quindi l'insieme non ha minimo l'estremo superiore +∞ non appartiene all'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N quindi questo insieme non ha massimo un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme