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sviluppo Dire se il seguenti insieme in ℜ e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato I = { x ∈ ℜ / x(k) = sen 2k π/2 - 1/k, ∀ k∈N } Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = sen kπ - 1/k per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1 → x(1) = sen 2k π/2 - 1/k = sen π/2 - 1/1 = 1 - 1 = 0 Per k = 2 → x(2) = sen 2k π/2 - 1/k = sen 2π/2 - 1/2 = 0 - 1/2 = -1/2 Per k = 3 → x(3) = sen 2k π/2 - 1/k = sen 4π/2 - 1/3 = 0 - 1/3 = -1/3 Per k = 4 → x(4) = sen 2k π/2 - 1/k = sen 8π/2 - 1/4 = 0 - 1/4 = -1/4 ..................................... ottengo
non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti -1/3 e -1/4 tra loro non esiste nessun elemento della successione E' limitato : infatti se considero ad esempio -2 esso e' un minorante per I e se considero ad esempio 1 esso e' un maggiorante L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente e' un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore il punto -1/2 e come estremo superiore il punto 0 E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva un insieme bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore L'estremo inferiore -1/2 fa parte dell'insieme , quindi e' anche minimo l'estremo superiore 0 appartiene all'insieme quindi e'anche massimo un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme |
