sviluppo Dire se il seguenti insieme in ℜ e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato     I = { x ∈ ℜ / x(k) = cos(π + kπ) - 1/k, ∀ k∈N } Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = cos(π + kπ) - 1/k per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1     → x(1) = cos(π + kπ) - 1/k- 1/k = cos 2π - 1/1 = +1 - 1 = 0 Per k = 2     → x(2) = cos(π + kπ) - 1/k - 1/k = cos 3π - 1/2 = -1 - 1/2 = - 3/2 Per k = 3     → x(3) = cos(π + kπ) - 1/k - 1/k = cos 4π - 1/3 +1 - 1/3 = + 2/3 Per k = 4     → x(4) = cos(π + kπ) - 1/k - 1/k = cos 5π - 1/4 = -1 - 1/4 = - 5/4 ..................................... ottengo 0 3 -    2 2 +    3 5 -    4 4 +    5 7 -    6 6 +    7 9 -    8 .... Si tratta di una successione oscillante in ℜ che si avvicina sempre piu' ai due punti -1 e +1, abbiamo quindi un insieme non continuo per vederlo meglio e' possibile cosiderarla come unione delle due successioni 0 2 +    3 4 +    5 6 +    7 .... 3 -    2 5 -    4 7 -    6 9 -    8 .... I non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti -3/2 e -5/4 tra loro non esiste nessun elemento della successione E' limitato : infatti se considero ad esempio -2 esso e' un minorante per I e se considero ad esempio +2 esso e' un maggiorante L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente e' un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore il punto -1 e come estremo superiore il punto +1 E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva un insieme bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore L'estremo inferiore -1 non fa parte dell'insieme , quindi I non ha minimo l'estremo superiore +1 non fa parte dell'insieme , quindi I non ha massimo un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme