sviluppo Dire se il seguenti insieme in ℜ e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato     I = { x ∈ ℜ / x(k) = e1/k + 1/k, ∀ k∈N } Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = e1/k + 1/k per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1     → x(1) = e1/k + 1/k = e1 + 1 = 1 + e Per k = 2     → x(2) = e1/k + 1/k = e1/2 + 1/2 = 1/2 + e1/2 Per k = 3     → x(3) = e1/k + 1/k = e1/3 + 1/3 = 1/3 + e1/3 Per k = 4     → x(4) = e1/k + 1/k = e1/4 + 1/4 = 1/4 + e1/4 ..................................... ottengo 1 + e     1 2 + e1/2     1 3 + e1/3     1 4 + e1/4     1 5 + e1/5     1 6 + e1/6     1 7 + e1/7     ... Si tratta di una successione decrescente in ℜ che si avvicina sempre piu' al punto 1 , abbiamo quindi un insieme non continuo per vederlo meglio e' possibile cosiderarla come somma delle due successioni (attenzione: somma, non unione!!) 1 1 2 1 3 1 4 .... e   e1/2 e1/3 e1/4 .... la prima converge a 0, la seconda converge ad 1, quindi tutta la successione tende a 0 + 1 = 1 non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti 1+e e 1/2 + e1/2 tra loro non esiste nessun elemento della successione E' limitato : infatti se considero ad esempio -2 esso e' un minorante per I e se considero ad esempio 4 esso e' un maggiorante (e vale circa 2,71828....) L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente e' un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore il punto 1 e come estremo superiore il punto 1+e E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva un insieme bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore L'estremo inferiore 1 non fa parte dell'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N quindi questo insieme non ha minimo l'estremo superiore 1 + e appartiene all'insieme e quindi e' il suo massimo un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme