sviluppo Dopo aver esaminato il seguente insieme, indicando se e' limitato, determinare se esistono punti di accumulazione giustificando tale affermazione     I = { x ∈ ℜ / -3 < x ≤ -2} Si tratta dell'insieme infinito e continuo dei punti di ℜ compresi fra -3(escluso) e -2 Un insieme e' finito se non e' infinito Un insieme e' infinito se un suo sottoinsieme qualunque puo' essere posto in corrispondenza biunivoca con l'insieme N dei numeri naturali E' un insieme limitato: infatti e' contenuto ad esempio nell'insieme A = { x ∈ ℜ / -4≤x≤4 } limitato in ℜ ogni insieme contenuto in un insieme limitato e' limitato tutti i punti di questo insieme sono di accumulazione, infatti preso qualunque punto e preso un numero ε piccolo a piacere, possiamo sempre trovare un punto vicino piu' di ε al punto considerato (basta considerare sempre piu' decimali avvicinandoci al valore del punto) Anche il punto -3, che non appartiene all'insieme, e' di accumulazione per l'insieme: infatti se ad esempio prendo un intorno di -3 di raggio ε=1/10.000 il punto di I che vale -2,9999999999 e' dentro l'intorno; Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme (da notare che piu prendo ε piccolo piu' devo prendere decimali con 9 per avere il numero interno all'inbtervallo di raggio ε) Da notare che se un insieme e' continuo in ℜ ogni suo punto piu' tutti i suoi punti di frontiera sono di accumulazione in ℜ un punto di frontiera e' un punto che appartiene al bordo dell'insieme: se l'insieme e' chiuso e' l'insieme degli estremi; se l'insieme e' aperto si completa l'insieme chiudendolo e si considerano gli estremi Nota: d'ora in avanti considereremo sempre limitati tutti i sottoinsiemi di ℜ del tipo segmento chiuso (termine tecnico: chiusi e connessi)