sviluppo

Dopo aver esaminato il seguente insieme, indicando se e' limitato, determinare se esistono punti di accumulazione giustificando tale affermazione

    I = { x ∈ ℜ / x(k) = 1

k 		, ∀ k∈N }



    Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = 1

k 		per ogni k∈N


per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti

Per k = 1     → x(1) = 1

1 		= 1
Per k = 2     → x(2) = 1

2
Per k = 3     → x(3) = 1

3
Per k = 4     → x(4) = 1

4
.....................................

ottengo
1 1

2 		1

3 		1

4 		1

5 		1

6 		.... → 0
E' un insieme infinito perche' e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme N
ogni punto dell'insieme corrisponde ad un valore di N e viceversa


E' un insieme limitato: infatti e' contenuto ad esempio nell'insieme A = { x ∈ ℜ / -2≤x≤2 } limitato in ℜ
ogni insieme contenuto in un insieme limitato e' limitato

Siccome ogni insieme infinito in ℜ ammette almeno un punto di accumulazione possiamo dire che esiste un punto di accumulazione

Tale punto e' il valore 0; infatti considerato il punto 0 e preso un numero ε piccolo a piacere, possiamo sempre trovare un punto vicino piu' di ε al punto considerato (basta considerare sempre piu' decimali avvicinandoci al valore del punto)

A infatti se ad esempio prendo un intorno di 0 di raggio ε=1/10.000.000 il punto di I che vale 0,00000000001 e' dentro l'intorno;
Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme
(da notare che piu prendo ε piccolo piu' devo prendere cifre decimali con lo zero per avere il numero interno all'intervallo di raggio ε)

Nessun altro punto e' di accumulazione, infatti preso ad esempio il punto a = 1/1.000.000.000 (un miliardesimo) se prendo ε= 1/100.000.000.000 (un centesimo di miliardo e lo considero come intorno del punto a considerato, in tale intorno non esiste nessun valore della succcessione: Il valore successivo a quello che mi da' a cioe' 1/1.000.000.001 cade fuori dall'intorno