sviluppo Dopo aver esaminato il seguente insieme, indicando se e' limitato, determinare se esistono punti di accumulazione giustificando tale affermazione I = { x ∈ ℜ / x(k) = k2 ∀ k∈N }     Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = k2 ∀ k∈N per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1     → x(1) = 12 = 1 Per k = 2     → x(2) = 22 = 4 Per k = 3     → x(3) = 32 = 9 Per k = 4     → x(4) = 42 = 16 ............................. ottengo 1     4     9     16     25     36     ....... E' l'insieme dei quadrati dei numeri naturali E' un insieme infinito perche' e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme N ogni punto dell'insieme corrisponde ad un valore di N e viceversa E' un insieme limitato inferiormente: infatti posso trovare in ℜ un numero che sia minore od uguale ad ogni valore dell'insieme dato, ad esempio -2 Non e' limitato superiormente perche' non posso trovare nessun numero che sia maggiore od uguale ad ogni valore dell'insieme dato Un insieme e' limitato se e' limitato sia superiormente che inferiormente un insieme e' limitato superiormente (a destra) se esiste un valore in ℜ che sia maggiore od uguale ad ogni punto dell'insieme un insieme e' limitato inferiormente (a sinistra)se esiste un valore in ℜ che sia minore od uguale ad ogni punto dell'insieme Siccome ogni insieme infinito in ℜ ammette almeno un punto di accumulazione possiamo dire che esiste un punto di accumulazione Tale punto e' il valore esterno all'insieme + ∞; infatti considerato il valore + ∞ e preso un numero naturale M grande a piacere, possiamo sempre trovare un punto vicino piu' di M al valore + ∞ (basta considerare M + 1) Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme Nessun altro punto e' di accumulazione, infatti preso ad esempio un qualunque punto P2 se prendo ε= 1/2 e lo considero come intorno del punto P2 considerato, in tale intorno non esiste nessun valore della succcessione: Il valore successivo (P+1)2 cade fuori dall'intorno