sviluppo Dopo aver esaminato il seguente insieme, indicando se e' limitato, determinare se esistono punti di accumulazione giustificando tale affermazione I = { x ∈ ℜ / x(k) = e-k , ∀ k∈N } Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = e-k per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1     → x(1) = e-1 = 1 e Per k = 2     → x(2) = e-2 = 1 e2 Per k = 3     → x(3) = e-3 = 1 e3 Per k = 4     → x(4) = e-4 = 1 e4 ..................................... ottengo 1 e 1 e2 1 e3 1 e4 1 e5 1 e6 1 e7 .... → 0 E' un insieme infinito perche' e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme N ogni punto dell'insieme corrisponde ad un valore di N e viceversa E' una successione che si avvicina sempre piu' a 0 Man mano che il denominatore aumenta il valore della frazione diminuisce sempre piu' E' un insieme limitato: infatti e' contenuto ad esempio nell'insieme A = { x ∈ ℜ / -2≤x≤5 } limitato in ℜ ogni insieme contenuto in un insieme limitato e' limitato Siccome ogni insieme infinito in ℜ ammette almeno un punto di accumulazione possiamo dire che esiste un punto di accumulazione Tale punto e' il valore 0; infatti considerato il punto 0 e preso un numero ε piccolo a piacere, possiamo sempre trovare un punto vicino piu' di ε al punto considerato (basta considerare esponenti sempre piu' alti avvicinandoci al valore del punto: piu' alto e' l'esponente e piu' piccolo e' il valore della frazione 1/ek) Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme (da notare che piu prendo ε piccolo piu' devo prendere cifre decimali con lo zero per avere il numero interno all'intervallo di raggio ε) Nessun altro punto e' di accumulazione, infatti preso ad esempio un qualunque punto basta considerare ε piu' piccolo dell'intervallo fra quel valore ed il suo successivo, in tale intorno non esiste nessun valore della succcessione