sviluppo Dopo aver esaminato il seguente insieme, indicando se e' limitato, determinare se esistono punti di accumulazione giustificando tale affermazione     I = { x ∈ ℜ / x(k) = (-2)k , ∀ k∈N }     Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = (-2)k per ogni k∈N per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1     → x(1) = (-2)1 = - 2 Per k = 2     → x(2) = (-2)2 = + 4 Per k = 3     → x(3) = (-2)3 = - 8 Per k = 4     → x(4) = (-2)4 = + 16 ............................. ottengo -2     +4     -8     +16     -32     +64     ....... Si tratta di una successione che diverge sia verso +∞ che verso -∞ per vederlo meglio e' possibile cosiderarla come unione delle due successioni -2        -8         -32     -128        -512     ....... → -∞ +4     + 16     +64     +256     +1024    ....... → +∞ E' un insieme infinito perche' e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme N ogni punto dell'insieme corrisponde ad un valore di N e viceversa E' un insieme illimitato: infatti non posso trovare in ℜ un numero che sia minore od uguale ad ogni valore dell'insieme dato, e nemmeno posso trovare un numero che sia maggiore od uguale ad ogni valore dell'insieme dato Un insieme e' illimitato se non e' limitato Un insieme e' limitato se e' limitato sia superiormente che inferiormente un insieme e' limitato superiormente (a destra) se esiste un valore in ℜ che sia maggiore od uguale ad ogni punto dell'insieme un insieme e' limitato inferiormente (a sinistra)se esiste un valore in ℜ che sia minore od uguale ad ogni punto dell'insieme Siccome ogni insieme infinito in ℜ ammette almeno un punto di accumulazione possiamo dire che esiste almeno un punto di accumulazione Questo insieme ha due punti di accumulazione: - ∞ e + ∞; infatti considerato il valore + ∞ e preso un numero naturale M grande a piacere, possiamo sempre trovare un punto della successione vicino piu' di M al valore + ∞ (se M e' pari basta considerare come punto della successione (-2)M+2, se M e' dispari basta considerare come punto della successione (-2)M+1, in questo modo l'esponente pari rende il risultato positivo ) considerato il valore - ∞ e preso un numero naturale M grande a piacere, possiamo sempre trovare un punto della successione vicino piu' di M al valore - ∞ (se M e' dispari basta considerare come punto della successione (-2)M+2, se M e' pari basta considerare come punto della successione (-2)M+1 in questo modo l'esponente dispari rende il risultato negativo ) Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme Nessun altro punto al finito e' di accumulazione, infatti preso ad esempio un qualunque punto se prendo ε= 1 e lo considero come intorno del punto considerato, in tale intorno non esiste nessun valore della successione: ogni valore della successione cade fuori dall'intorno perche' la distanza fra i diversi elementi della successione e' sempre maggiore di 1