sviluppo Dopo aver esaminato il seguente insieme, indicando se e' limitato, determinare se esistono punti di accumulazione giustificando tale affermazione     I = { x ∈ ℜ / x(k) = 1 (-2)k , ∀ k∈N }     Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = 1 (-2)k per ogni k∈N per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti Per k = 1     → x(1) = 1 (-2)1 = - 1 2 Per k = 1     → x(2) = 1 (-2)2 = + 1 4 Per k = 1     → x(3) = 1 (-2)3 = - 1 8 Per k = 1     → x(4) = 1 (-2)4 = + 1 16 ..................................... ottengo 1 -     2 1 +     4 1 -     8 1 +     16 1 -     32 .... → 0 E' un insieme infinito perche' e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme N ogni punto dell'insieme corrisponde ad un valore di N e viceversa E' un insieme limitato: infatti e' contenuto ad esempio nell'insieme A = { x ∈ ℜ / -2≤x≤2 } limitato in ℜ ogni insieme contenuto in un insieme limitato e' limitato Siccome ogni insieme infinito in ℜ ammette almeno un punto di accumulazione possiamo dire che esiste un punto di accumulazione Tale punto e' il valore 0; infatti considerato il punto 0 e preso un numero ε piccolo a piacere, possiamo sempre trovare un punto vicino piu' di ε al punto considerato (basta considerare sempre piu' decimali avvicinandoci al valore del punto) A infatti se ad esempio prendo un intorno di 0 di raggio ε=1/(-2)40 i punti di I che otteniamo con k = 41, 42, 43,.. sono dentro l'intorno; Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme (da notare che piu prendo ε piccolo piu' devo prendere cifre decimali con lo zero per avere il numero interno all'intervallo di raggio ε) Nessun altro punto e' di accumulazione, infatti preso ad esempio il punto a = 1/(-2)70 ) se prendo ε= 1/(-2)72 e lo considero come intorno del punto a considerato, in tale intorno non esiste nessun valore della successione: Tutti i valori cadono fuori dall'intorno