sviluppo


Dire se il seguente insieme e' infinito giustificando tale affermazione

    I = { x ∈ ℜ / x(k) = cos kπ - 1/k, ∀ k∈N }


    Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = cos kπ - 1

k 		per ogni k∈N


per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti

Per k = 1     → x(1) = cos π - 1

1 		= -1 - 1 = -2
Per k = 2     → x(2) = cos 2π - 1

2 		= 1 - 1

2 		= 1

2
Per k = 3     → x(3) = cos 3π - 1

3 		= -1 - 1

3 		= - 4

3
Per k = 4     → x(4) = cos 4π - 1

4 		= 1 - 1

4 		= 3

4
.....................................

ottengo
-2 1
+   
2 		4
-     
3 		3
+     
4 		6
-     
5 		5
+     
6 		8
-     
7 		7
+     
8 		....
Si tratta di una successione che converge sia verso +1 che verso -1
per vederlo meglio e' possibile cosiderarla come unione delle due successioni
-2 4
-    
3 		6
-    
5 		8
-     
7 		10
-     
9 		.... → -1
1
+   
2 		3
+   
4 		5
+   
6 		7
+   
8 		9
+   
10 		.... → + 1
E' un insieme infinito perche' e' in corrispondenza biunivoca con l'insieme N
ogni punto dell'insieme corrisponde ad un valore di N e viceversa

E' un insieme limitato: infatti e' contenuto ad esempio nell'insieme A = { x ∈ ℜ / -3≤x≤2 } limitato in ℜ
ogni insieme contenuto in un insieme limitato e' limitato

Quindi diremo che per k tendente ad infinito la successione e' oscillante avvicinandosi sempre piu' con le oscillazioni ai punti -1 e +1
Possiamo "scomporre" la successione nelle due successioni componenti e porre ognuna delle due parti in corrispondenza biunivoca con l'insieme N
La prima relazione puo' essere { x ∈ ℜ / x(k) = - k+1

k 		∀ k∈N }

La seconda relazione puo' essere { x ∈ ℜ / x(k) = + k

k+1		 ∀ k∈N }

Da notare che sono infiniti anche gli insiemi 2N, N/2, N/1000000, N2...... e anche quelli considerati sopra e possono tutti essere posti in corrispondenza biunivoca con l'insieme N
quanto sopra porta a "strane" uguaglianze, ad esempio avremo N+N = N cioe' ∞+∞ = ∞, eccetera: e' una parte della matematica molto bella ma che e' fuori dal programma scolastico