sviluppo

sviluppo

Data la seguente funzione determinatene, se possibile, la funzione inversa indicandone anche le eventuali restrizioni nel dominio

y = log(x-2) - logx

Dovendo essere gli argomenti maggiori di zero avremo che dovra' essere contemporaneamente x > 0 e x > 2, quindi la funzione e' definita per x > 2
D = {x ∈ ℜ / x > 2 }

Essendo il secondo membro una differenza di logaritmi posso, per le proprieta' dei logaritmi, scrivere

y = log

x - 2

x

Attenzione: e' una funzione diversa dalla precedente: infatti il suo dominio e' diverso, ma noi ci limitiamo ad una restrizione della funzione nel dominio considerato

per trovarne l'inversa scambio tra loro x ed y

x = log

y - 2

y

porto i termini con la y prima dell'uguale (senza cambiare di segno leggo a rovescio)

log

y - 2

y

= x

per eliminare il logaritmo applico l'esponenziale da entrambe le parti

e^log

^{y - 2

y}

= e^x

logaritmo ed esponenziale si elidono vicendevolmente

y - 2

y

= e^x

supponendo y≠0 faccio il minimo comune multiplo

y - 2

y

= e^x

ye^x

y

tolgo i denominatori

y - 2 = ye^x

sposto il termine con la x prima dell'uguale ed il termine noto dopol'uguale

y - ye^x = 2

raccolgo y

y(1 - e^x) = 2

Supponendo e^x≠1 ricavo la y

y =

2

1 - e^x

questa funzione e' definita per e^x≠1

il suo dominio e' dato. inoltre, dalla restrizione della funzione precedente all'intervallo x>2, cosa che richiederebbe una trattazione a parte; per ora accontentiamoci cosi'