sviluppo


Data la seguente funzione determinatene, se possibile, la funzione inversa indicandone anche le eventuali restrizioni nel dominio

    y = x + 1 per x < 3
2x - 1 per x ≥ 3


E' una normalissima funzione, composta da parti diverse in intervalli diversi, utilizzeremo spesso in analisi tali funzioni "spezzate"

La funzione e' definita su tutto ℜ

Sia la prima parte che la seconda rappresentano delle semirette e precisamente

y = x + 1 per x < 3 e' una semiretta di origine il punto (3;4) nel verso delle x decrescenti

y = 2x - 1 per x ≥ 3 e' una semiretta di origine il punto (3;5) nel verso delle x crescenti

trovo quindi l'inversa per le semirette:


considero la prima
y = x + 1 con D = {x ∈ ℜ / x < 3}
il valore 3 per x corrisponde al valore 4 per y: la semiretta ha origine nel punto (3;4)
per trovarne l'inversa scambio tra loro x ed y

x = y + 1
ricavo la y ed ottengo
    y = x - 1 con D = {x ∈ ℜ / x < 4}

considero la seconda
y = 2x - 1 con D = {x ∈ ℜ / x ≥ 3}
il valore 3 per x corrisponde al valore 5 per y: la semiretta ha origine nel punto (3;5)
per trovarne l'inversa scambio tra loro x ed y

x = 2y - 1

ricavo la y ed ottengo
    y = x + 1

2		     nel dominio     D = {x ∈ ℜ / x ≥ 5}



quindi raccogliendo ottengo
    y = y = x - 1     nel dominio D = {x ∈ ℜ / x < 4}
x + 1

2		     nel dominio     D = {x ∈ ℜ / x ≥ 5}

con dominio     D = {x ∈ ℜ / x < 4 ∪ x ≥ 5}

A destra una rappresentazione grafica