Risolvere l'equazione:
x4 - 5x3 + 2x2 + 20x - 24 = 0
considero il polinomio associato
x4 - 5x3 + 2x2 + 20x - 24 =
Devo scomporlo
Non posso raccogliere niente a fattor comune
Passo a considerare il numero di termini : 5
Enumero le varie possibilita'
Non vedo raggruppamenti
Devo provare Ruffini
i divisori del termine noto sono:
+1   -1   +2   -2   +3   -3   +4   -4   +6   -6   +12   -12   +24   -24  
  • Provo a vedere se e' scomponibile per (x - 1)
    P(1)= 14 - 5·13 + 2·12 + 20·1 - 24 = 1 -5 +2 +20 -24 0
    Non e' scomponibile per (x - 1)

  • Provo a vedere se e' scomponibile per (x + 1)
    P(-1)= (-1)4 - 5·(-1)3 + 2·(-1)2 + 20·(-1) -24 = -1 +5 +2 -20 -24 0
    Non e' scomponibile per (x + 1)
  • Provo a vedere se e' scomponibile per (x - 2)
    P(2)= 24 - 5·23 + 2·22 + 20·2 -24 = 16 -40 +8 +40 -24 = 0
    E' scomponibile per (x - 2)


Divido per (x-2) ed ottengo:



x4 - 5x3 + 2x2 + 20x - 24 = (x + 2)(x3 - 3x2 - 4x + 12) =


Ora devo scomporre il polinomio di terzo grado;
x3 - 3x2 - 4x + 12
Ricomincio dall'ultimo fattore che e' andato bene
  • Provo a vedere se e' scomponibile per (x - 2)
    P(2)= 23 - 3·22 - 4·2 + 12 = 8 -12 -8 +12 = 0
    E' ancora scomponibile per (x - 2)


Divido per (x-2) ed ottengo:



x4 - 5x3 + 2x2 + 20x - 24 = (x - 2)(x3 - 3x2 - 4x + 12) =
= (x - 2)(x - 2)(x2 - x - 6)
Ora siccome il polinomio e' tutto composto di polinomi di primo e secondo grado ricostruisco l'equazione
x4 - 5x3 + 2x2 + 20x - 24 = 0
equivale a
(x - 2)(x - 2)(x2 - x - 6) = 0
Risolvo le singole equazioni:
  1. (x - 2) = 0
  2. (x - 2) = 0
  3. (x2 - x - 6) = 0
  • risolvo la prima
    x - 2 = 0      x = 2
  • risolvo la seconda
    x - 2 = 0      x = 2
  • risolvo la terza
    x2 - x - 6 = 0

             1 [(1)2 - 4(1)(-6)]
       x = ----------------------
                      2
    eseguo i calcoli
                 1 (25)
      x = ----------------------
                      2
    x1,2 = ( 1 5)/2
     Ottengo le soluzioni
    x = -2         x = 3
Le soluzioni dell'equazione di partenza saranno:
  • x1 = 2
  • x2 = 2
  • x3 = -2
  • x4 = 3
posso anche dire
  • x1,2 = 2 soluzione doppia
  • x3 = -2
  • x4 = 3
Come vedi il procedimento e' lungo e noioso, allora, se possibile, si cercano metodi piu' rapidi ed equazioni particolari che permettano di utilizzare metodi piu' efficienti per trovare le soluzioni. Vedremo questi metodi nelle prossime pagine