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ax3 + bx2 + bx + a = 0 prima specie ax3 + bx2 - bx - a = 0 seconda specie Come prima cosa c'e' da dire che se l'equazione reciproca e' di grado dispari, siccome ogni soluzione deve avere la sua reciproca e, per il teorema fondamentale dell'algebra le soluzioni sono in numero dispari allora (intuitivamente) tra le soluzioni dovra' sempre esservi 1 (o -1) come numero reciproco di se' stesso in particolare per le equazioni reciproche di prima specie -1 per le equazioni reciproche di seconda specie +1 Pertanto potremo sempre usare Ruffini con il divisore (x+1) per le equazioni di prima specie dimostrazione (x-1) per le equazioni di seconda specie dimostrazione Vediamo un esempio per tipo: Equazione reciproca di prima specie 3x3 + 13 x2 + 13 x + 3 = 0 E' reciproca di prima specie perche' i coefficienti equidistanti dal centro dell'equazione sono uguali e di stesso segno 3 con 3 e 13 con 13 posso scomporre per (x+1): infatti P(-1)= 3(-1)3 + 13 (-1)2 + 13(-1) + 3 = = 3(-1) + 13(1) + 13(-1) + 3 = = - 3 + 13 - 13 + 3 = 0 quindi faccio la divisione di Ruffini
3x3 + 13 x2 + 13 x + 3 = (x + 1) (3x2 + 10x + 3) adesso pongo uguali a zero i fattori ed ottengo
x1 = - 3 x2 = -1 x3 = -1/3 Equazione reciproca di seconda specie 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 E' reciproca di seconda specie perche' i coefficienti equidistanti dal centro dell'equazione sono uguali e di segno contrario 2 con -2 e -7 con 7 posso scomporre per (x-1):infatti P(1)= 2(1)3 - 7(1)2 + 7(1) - 2 = 2 - 7 + 7 - 2 = 0 quindi faccio la divisione di Ruffini
2x3 - 7x2 + 7x - 2 = (x - 1) (2x2 - 5x + 2) adesso pongo uguali a zero i fattori ed ottengo
x1 = 1/2 x2 = 1 x3 = 2 |
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