Esercizio


risolviamo la disequazione:
x4 + x3 -3x2 - 4x - 4
------------------------------
x3 + 3x2 + x + 3		    < 0
Scomponiamo in fattori sia il numeratore che il denominatore
  • Scomposizione del numeratore
    Considero il polinomio associato
    x4 + x3 - 3x2 - 4x - 4 =
    devo scomporlo in fattori; sono 5 termini, non riesco a fare dei raggruppamenti, quindi applico la scomposizione di Ruffini
    provo a scomporre per:
    (x-1),    P(1)= 14 + 13 -3·12 - 4·1 - 4 = 1 + 1 - 3 - 4 - 4 0
    (x+1),    P(-1)= (-1)4 + (-1)3 -3·(-1)2 - 4·(-1) - 4 = 1 - 1 - 3 + 4 - 4 0
    (x-2),    P(2)= 24 + 23 -3·22 - 4·2 - 4 = 16 + 8 - 12 - 8 - 4 = 0
    quindi (x-2) e' un fattore: divido per (x-2)
    faccio la divisione di Ruffini
      1 1 -3 -4 -4
    2   2 6 6 4
      1 3 3 2 0

    Ottengo quindi
    x4 + x3 - 3x2 - 4x - 4 = (x-2)(x3 + 3x2 + 3x + 2) =
    Continuo la scomposizione del secondo fattore: sono 4 termini:
    • Non e' il cubo di un binomio
    • non e' un raccoglimento parziale
    • non mi sembra un raggruppamento
    • quindi applico la scomposizione di Ruffini
    provo a scomporre per l'ultimo fattore che era valido
    (x-2),    P(2)= 23 +3·22 + 3·2 + 2 = 8 + 12 + 6 + 2 0
    (x+2),    P(-2)= (-2)3 +3·(-2)2 +3·(-2) + 2 = -8 + 12 - 6 + 2 = 0
    Quindi (x+2) e' un fattore; divido per (x+2)

      1 3 3 2
    -2   -2 -2 -2
      1 1 1 0


    quindi ottengo
    x4 + x3 - 3x2 - 4x - 4 = (x-2)(x3 +3x2 + 3x + 2) = (x-2)(x+2)(x2+x+1)
    Ora provo a scomporre l'ultimo fattore
    • Non e' il quadrato di un binomio
    • Non e' un trinomio notevole
    • Non si puo' scomporre con Ruffini (i fattori possibili sono +1 e -1 che abbiamo gia' provato)
    L'ultimo fattore non e' scomponibile.

  • Scomposizione del denominatore
    Considero il polinomio associato
    x3 + 3x2 + x + 3=
    sono 4 termini:
    • Non e' il cubo di un binomio
    • Puo' essere un raccoglimento parziale
    provo a scomporre come raccoglimento parziale
    x3 + 3x2 + x + 3 = x2(x+3) + 1(x+3) = (x+3)(x2 + 1)
    L'ultimo fattore (2 termini) come somma di quadrati non e' scomponibile


quindi ottengo
(x-2)(x+2)(x2+x+1)
-------------------------
(x+3)(x2 + 1)		    < 0
poniamo ogni fattore maggiore di zero
  • x - 2 > 0       x > 2
  • x + 2 > 0      x > -2
  • x2+x+1 > 0      sempre verificato (delta minore di zero)
  • x + 3 > 0       x > -3
  • x2 + 1 > 0      sempre verificato (delta minore di zero)

Adesso riporto i risultati su un grafico indicando con un un + dove ogni disequazione e' verificata e con un - dove non e' verificata e faccio il conto dei segni:
devo prendere gli intervalli dove il prodotto ed il quoziente dei segni dei fattori (cioe' il segno dell'espressione) risulta negativo.

Ottengo come risultato:
x < -3   U   -2 < x < 2
Nota che avrei potuto tralasciare i due fattori con delta minore di zero perche',essendo positivi, non influiscono sul segno del risultato