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Troveremo questa disuguaglianza soprattutto quando dovremo verificare il valore di un limite di successione o di funzione Vale sempre, essendo b un numero reale positivo; |a|≤b ⇔ -b ≤ a ≤ b ed anche |a|<b ⇔ -b < a < b Cioe' se un modulo e' minore di un numero reale si puo' togliere il modulo ponendone l'argomento compreso fra i valori negativo e positivo del numero reale: Dimostrazione a puo' essere positivo, nullo oppure negativo prima considero il caso positivo o nullo, poi il caso negativo supponiamo che a sia positivo o nullo allora avremo sicuramente a≥-b ed inoltre essendo |a|≤b questo implica a ≤ b (per ipotesi a e' positivo e b e' positivo) quindi raccogliendo ottengo -b ≤ a ≤ b come volevo Suppongo che a sia negativo; allora risulta certamente a < b; inoltre la disuguaglianza |a|<b implica -a <b (per ipotesi a e' negativo e quindi -a e' positivo) essendo b un numero reale positivo se moltiplico la disuguaglianza precedente per -1 ottengo la disuguaglianza vera -b < a, quindi raccogliendo ottengo -b < a < b come volevo Raccogliendo assieme tutti i risultati ottengo che per qualunque a∈ℜ vale -b ≤ a ≤ b essendo b un numero reale positivo Esempio Risolvere la seguente equazione |x - 4| ≤ 2x+3 applico la regola per togliere il modulo -2x -3 ≤ x-4 ≤ 2x +3 questa scrittura equivale a risolvere contemporaneamente le disequazioni 
-2x -3 ≤ x-4 x-4 ≤ 2x +3
-2x-x ≤ +3-4 x-2x ≤ 4 +3
-3x ≤ -1 -x ≤ 7 cambio di segno e verso
3x ≥ 1 x ≥ 7
x ≥ 1/3 x ≥ -7 Siccome devo considerare ove sono entrambe verificate la soluzione sara' data dai valori comuni, cioe'
x ≥ 1/3 |
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