Esercizio Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata x + |2x + |x-2|| ≥ -x + 8 Qui abbiamo un modulo dentro un altro modulo: parto dal modulo interno e sdoppio la mia disequazione in due parti: ottengo due disequazioni con un modulo e riapplico il procedimento ad ognuna di esse: otterro' quindi 4 disequazioni che sono valide in 4 intervalli diversi Pongo x-2>0 x - 2 > 0 x > 2 Significa che nell'intervallo x > 2 il termine entro il modulo e' positivo quindi metto x-2 al posto del modulo invece nell'intervallo x < 2 il termine entro il modulo e' negativo quindi cambio di segno e metto -x+2 al posto del modulo la mia disequazione diventa x + |2x - x + 2| ≥ -x + 8    se    x < 2 x + |2x + x-2 | ≥ -x + 8       se    x ≥ 2 o meglio, calcolando x + |x + 2| ≥ -x + 8    se    x < 2 x + |3x - 2 | ≥ -x + 8       se    x ≥ 2 Ora devo riapplicare la definizione di modulo per risolvere le due nuove disequazioni Sviluppo la prima x + |x + 2| ≥ -x + 8    se    x < 2 x+2>0 x>-2 allora ottengo le due nuove disequazioni x - x - 2 ≥ -x + 8    se    x < 2 e se    x < -2 x + x + 2 ≥ -x + 8    se    x < 2 e se    x ≥ -2 o, meglio, facendo un po' di calcoli - 2 ≥ -x + 8    se    x < 2 e se    x < -2 2x + 2 ≥ -x + 8    se    x < 2 e se    x ≥ -2 Sviluppo la seconda x + |3x - 2 | ≥ -x + 8    se    x < 2 3x-2>0 3x>2 x>2/3 allora ottengo le due nuove disequazioni x - 3x + 2 ≥ -x + 8    se    x ≥ 2 e se    x < 2/3 x + 3x - 2 ≥ -x + 8    se    x ≥ 2 e se    x ≥ 2/3 o, meglio, facendo un po' di calcoli -2x + 2 ≥ -x + 8    se    x ≥ 2 e se    x < 2/3 4x - 2 ≥ -x + 8    se    x ≥ 2 e se    x ≥ 2/3 Guarda la figura qui sotto che ti evidenzia il procedimento seguito: Al solito, se metto sotto forma di sistema non devo preoccuparmi per gli intervalli, quindi passo direttamente ad indicare i 4 sistemi che devo risolvere la mia disequazione e' equivalente ai 4 sistemi - 2 ≥ -x + 8 x < 2 x < -2 2x + 2 ≥ -x + 8 x < 2 x ≥ -2 -2x + 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x < 2/3 4x - 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x ≥ 2/3 ____________________ ____________________ 2___________________ ____________________ da notare che con il metodo dell'intervallo il terzo sistema e' impossibile, perche' il valore 2/3 non e' maggiore di 2 e quindi le disequazioni sono incompatibili e non danno luogo ad un intervallo Risolvo il primo sistema - 2 ≥ -x + 8 x < 2 x < -2 x ≥ 2 + 8 x < 2 x < -2 x ≥ 10 x < 2 x < -2 faccio il grafico x≥10                                         10____________________ x<2 ______________________ ________________2 x<-2 ____________________-2 il sistema non ha soluzione Risolvo il secondo sistema 2x + 2 ≥ -x + 8 x < 2 x ≥ -2 2x + x ≥ -2 + 8 x < 2 x ≥ -2 3x ≥ 6 x < 2 x ≥ -2 x ≥ 2 x < 2 x ≥ -2 faccio il grafico x ≥ 2                         2______________________ x < 2 ______________ ___________________2                                                 x ≤ 2 ______________ ___________________2                                                 il sistema non ammette soluzione (il 2 non appartiene alla seconda disequazione) Risolvo il terzo sistema -2x + 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x < 2/3 -2x + x ≥ -2 + 8 x ≥ 2 x < 2/3 -x ≥ 6 x ≥ 2 x < 2/3 x ≤ -6 x ≥ 2 x < 2/3 faccio il grafico x≤-6 ______________-6 x≥2             2_________________ ___________________ x≶2/3 ___________________________ ________2/3                                                   il sistema non ammette soluzione Risolvo il quarto sistema 4x - 2 ≥ -x + 8 x ≥ 2 x ≥ 2/3 4x + x ≥ 2 + 8 x ≥ 2 x ≥ 2/3 5x ≥ 10 x ≥ 2 x ≥ 2/3 x ≥ 2 x ≥ 2 x ≥ 2/3 faccio il grafico x ≥ 2                                                   2______________________ x ≥ 2                                                   2______________________ x ≥ 2/3                          2/3_________________ _______________________ il sistema ammette soluzione x ≥ 2 adesso metto assieme i risultati dei tre sistemi e trovo la soluzione Soluzione x ≥ 2 cioe' ∀ x ∈ ℜ / x ∈ [2 ; +∞[    Il simbolo / significa "tale che". Si legge: per ogni numero Reale x tale che x appartenga all'intervallo semiaperto da 2 a + infinito: semiaperto significa che +∞ non e' una compreso ma 2 e' compreso quindi appartiene alle soluzioni oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l'equazione: x≥2                         2_________________ ℜ ____________________ _____________________________________