esercizio Problema: La somma di due numeri naturali aumentata del loro prodotto vale 11. Trovare i due numeri sapendo che la somma dei loro quadrati diminuita del prodotto fra i numeri vale 7 Siccome devo trovare due numeri ne chiamero' uno x e l'altro y, cioe' impostero' un sistema primo numero = x secondo numero = y Ho due relazioni la somma dei due numeri aumentata del loro prodotto vale 11 x + y + xy = 11 la somma dei quadrati diminuita del loro prodotto vale 7 x2 + y2 - xy = 7 faccio il sistema x + y + xy = 11 x2 + y2 - xy = 7 E' di quarto grado, ma come sistema e' un sistema simmetrico quindi di un tipo che sappiamo risolvere Nella seconda equazione applico la prima formula di Waring x + y + xy = 11 (x + y)2 - 2xy - xy = 7 x + y + xy = 11 (x + y)2 - 3xy = 7 Pongo (x+y) = s      xy = p ottengo s + p = 11 s2 - 3p = 7 Ricavo p dalla prima equazione e sostituisco nella seconda p = 11 - s s2 - 3(11 - s) = 7 p = 11 - s s2 + 3s - 33 - 7 = 0 p = 11 - s s2 + 3s - 40 = 0 La seconda e' un'equazione di secondo grado, la risolvo ed ottengo come soluzioni         Calcoli s1 = -8 s2 = +5 ora devo sostituire i valori trovati nel sistema e trovo i due sistemi I) p1 = 11 - (-8) = 19 s1 = -8 II) p2 = 11 - 5 = 6 s2 = 5 Risolviamo il primo: devo sostituire ad s (x+y) ed a p xy p = 19 s = -8 xy = 19 x + y = -8 Devo trovare due numeri di cui conosco la somma ed il prodotto; applico la formula: t2 - st + p = 0 t2 + 8t + 19 = 0 Risolvo l'equazione di secondo grado in t ma essendo il discriminante minore di zero non ho radici reali     Calcoli Risolviamo il secondo: devo sostituire ad s (x+y) ed a p xy p = 6 s = 5 xy = 6 x + y = 5 Devo trovare due numeri di cui conosco la somma ed il prodotto; applico la formula: t2 - st + p = 0 t2 - 5t + 6 = 0 Risolvo l'equazione di secondo grado in t e trovo     Calcoli t1 = 2      t2 = 3 Ottengo quindi le due soluzioni x1 = 2 y1 = 3          x2 = 3 y2 = 2 quindi il nostro problema ha solamente due soluzioni reali