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Vediamo ora un caso particolare: e' possibile risolvere un sistema quando la somma delle incognite vale sempre zero? costruiamo il sistema con il solito metodo: consideriamo i valori x = 1 y = 2 z = 3 che saranno le soluzioni Costruiamo le equazioni 1 + 2 - 3 = 0 x + y - z = 0 1 - 2·2 + 3 = 0 x - 2y + z = 0 5·1 - 2 - 3 = 0 5x - y - z = 0 Dobbiamo risolvere il sistema: 
x + y - z = 0x - 2y + z = 0 5x - y - z = 0 Se il determinante della matrice dei coefficienti e' diverso da zero, procedo con il metodo di Cramer, siccome la colonna dei termini noti e' tutta nulla otterro' la soluzione banale
x = 0y = 0 z = 0 Se invece il determinante e' uguale a zero (come nel nostro caso)
allora il sistema ammette infinite soluzioni e vale la regola: Se i complementi algebrici degli elementi di una qualunque riga non sono tutti nulli allora il loro valore e' una delle infinite soluzioni del sistema Cioe' saranno soluzioni del sistema anche tutti i multipli e sottomultipli dei valori trovati cioe':
x = costante · C1,1y = costante · C1,2 z = costante · C1,3 Essendo: C1,1 il complemento algebrico del primo elemento della prima riga C1,2 il complemento algebrico del secondo elemento della prima riga C1,3 il complemento algebrico del terzo elemento della prima riga Siccome i complementi algebrici degli elementi della prima riga non sono tutti nulli considero loro Attenzione: nel concetto di complemento algebrico e' implicito il segno normale se il complemento ha somma degli indici pari, segno cambiato se la somma degli indici e' dispari Nel nostro caso abbiamo:
ottengo quindi come soluzione
x = 3y = 6 z = 9 siccome ho come infinite soluzioni tutte quelle proporzionali a queste avro' come soluzione anche
x = 1y = 2 z = 3 ottenuta dalla precedente dividendo ogni risultato per 3 E' preferibile indicare le soluzioni come
x = ky = 2k z = 3k con k numero reale |
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