Sistema lineare con parametro Quando all'interno di un sistema hai un parametro e' interessante vedere come, al variare del parametro il sistema puo' ammettere una , nessuna o infinite soluzioni: siccome qui e' possibile racchiudere un po' tutta la teoria sin qui sviluppata questi esecizi sono piuttosto comuni, soprattutto negli esami di maturita' scientifica Vediamo ad esempio questo esercizio, parte di un esercizio di esame Maturita' scientifica sperimentale 1993 sessione supplettiva (prima parte del secondo esercizio) Si stabiliscano le relazioni cui debbono soddisfare a e b affinche' il sistema di equazioni ax + 2y + bz = 1 x + y + az = 1 x + ay + bz = 1 ammetta un'unica soluzione o infinite soluzioni o nessuna soluzione a    2    b 1    1    a 1    a    b                     a    2    b    1 1    1    a    1 1    a    b    1 Matrice incompleta Matrice completa Per avere una sola soluzione la matrice completa ed incompleta dovranno avere rango 3, quindi bastera' che il determinante della matrice incompleta sia diverso da zero Lo calcolo    a    2    b 1    1    a 1    a    b = 2ab - a3 + 2a - 3b       Calcoli Siccome ho due parametri a e b mi conviene esplicitare rispetto ad un solo parametro Se il determinante e' diverso da zero 2ab - a3 + 2a - 3b 0 allora esplicitando b ottengo (esplicito b perche' e' piu' semplice) b(2a- 3) - a3 + 2a 0 Anche se c'e' diverso ci si comporta come in un'equazione b(2a- 3) a3 - 2a e quindi b a3 - 2a --------------- (2a-3) in questo caso il sistema ammette una sola soluzione se invece abbiamo b = a3 - 2a --------------- (2a-3) allora la matrice incompleta ha rango 2 mentre i tre minori di ordine 3 della matrice completa diversi da quello calcolato valgono    a    2    1 1    1    1 1    a    1 = -(a-1)2       Calcoli    a    b    1 1    a    1 1    b    1 = (a-1)(a-b)       Calcoli    2    b    1 1    a    1 a    b    1 = (a-b)(2-a)       Calcoli e se cerco la soluzione comune -(a-1)2 = 0 (a-1)(a-b) = 0 (a-b)(2-a) = 0        Calcoli avro' che le prime due equazioni si annullano se a = 1 Mentre la seconda e la terza si annullano se b = a e la terza si annulla anche se a = 2 Quindi raccogliendo potremo dire: Se b a3 - 2a --------------- (2a-3) Allora avremo una sola soluzione Se b = a3 - 2a --------------- (2a-3) allora distinguiamo i casi se a 1 a 2 od anche a b allora il sistema non ammette soluzioni se a = 1 oppure a = 2 od anche a = b il sistema ammette oo1 soluzioni (approfondire) In futuro aggiungere altri esercizi