Risolvere il sistema: x2 + y2 + 2x + 2y = 23 x2 + y2 + xy = 19 Facciamo qualche passaggio per semplificare un po' qui mi conviene ricavare (x2+y2) dalla seconda equazione e sostituire nella prima x2 + y2 + 2x + 2y = 23 x2 + y2 = 19 - xy 19 - xy + 2x + 2y = 23 x2 + y2 = 19 - xy 2x + 2y - xy = 23 - 19 x2 + y2 = 19 - xy 2(x + y) - xy = 4 x2 + y2 + xy = 19 adesso applico la prima formula di Waring alla seconda equazione 2(x + y) - xy = 4 (x+y)2 - 2xy + xy = 19 2(x + y) - xy = 4 (x+y)2 - xy = 19 Sottraggo fra loro la prima equazione dalla seconda e la metto a sistema con una delle due equazioni, ad esempio la prima (e' la piu' semplice) (x+y)2 - 2(x + y) = 15 2(x + y) - xy = 4 Considero ora la prima equazione: si puo' considerare un'equazione di secondo grado nell'incognita (x+y)=t t2 - 2t - 15 = 0 che ha soluzioni       calcoli t1 = -3 t2 = 5 ottengo i due sistemi equivalenti al sistema di partenza x + y = -3 2(x + y) - xy = 4          x + y = 5 2(x + y) - xy = 4 Risolvo il primo: x + y = -3 2(x + y) - xy = 4 Sostituisco nella seconda -3 al posto di (x+y) x + y = -3 2(-3) - xy = 4 x + y = -3 - xy = 4 +6 x + y = -3 xy = -10 considero l'equazione associata z2 - 3z - 10 = 0 risolvo ed ottengo         Calcoli z1 = -2          z2 = +5 ho quindi le soluzioni x1 =-2          x2 = 5 y1 = 5          y2 = -2 Risolvo il secondo: x + y = 5 2(x + y) - xy = 4 Sostituisco nella seconda 5 al posto di (x+y) x + y = 5 2(5) - xy = 4 x + y = 5 - xy = 4 - 10 x + y = 5 xy = 6 considero l'equazione associata z2 - 5z + 6 = 0 risolvo ed ottengo         Calcoli z1 = 2 z2 = 3 ho quindi le soluzioni x1 = 2 y1 = 3          x2 = 3 y2 = 2 Raccogliendo ho le 4 soluzioni x1 =-2       x2 = 5       x3 = 2       x4 = 3 y1 = 5 y2 = -2 y3 = 3 y4 = 2