Soluzione generale di un sistema simmetrico Per risolverlo in modo automatico trasformiamo tutti i termini in gruppi del tipo (x+y) ed xy, magari utilizzando anche le formule di Waring; Una volta fatto cio' consideriamo due nuove variabili: x+y = s xy = p e sostituiamole; otteremo un sistema di due equazioni in due incognite che potremo risolverecon i metodi noti Trovare le soluzioni reali del sistema: x2 + y2 + x + y = 22 x3 + x2y + xy2 + y3 = 85 cerchiamo di evidenziare i gruppi (x+y) ed xy; nella seconda equazione raccolgo xy fra il secondo ed il terzo termine. x2 + y2 + (x + y) = 22 x3 + y3 + xy(x + y) = 85 ora applico le formule di Waring sia alla prima che alla seconda equazione (x+y)2 - 2xy + (x + y) = 22 (x + y)3 -3xy(x + y) + xy(x + y) = 85 sommo i fattori simili (x+y)2 - 2xy + (x + y) = 22 (x + y)3 -2xy(x+y) = 85 adesso pongo x+y = s xy = p ed ottengo s2 - 2p + s = 22 s3 -2sp = 85 mi conviene ricavare 2p da sopra e sostituirne il valore nella seconda equazione 2p = s2 + s - 22 s3 - s(s2 + s - 22) = 85 eseguo i calcoli 2p = s2 + s - 22 s3 - s3 - s2 + 22s = 85 2p = s2 + s - 22 s2 - 22s + 85 = 0 la seconda equazione e' un'equazione di secondo grado in s s2 - 22s + 85 = 0 la risolvo ed ottengo: s = 5         s=17 ora sostituisco ad s nella prima equazione una volta 5 ed una volta 17 sostituisco 5 2p = 52 + 5 - 22 = 8 s = 5 divido per 2 per ottenere p p = 4 s = 5 sostituisco 7 2p = 172 + 17 - 22 = 284 s = 5 divido per 2 per ottenere p p = 142 s = 17 Ora, sostituendo ad s e p le loro espressioni ottengo i due sistemi x + y = 5 xy = 4          x + y = 17 xy = 142 Risolvo il primo: x + y = 5 xy = 4 considero l'equazione associata z2 - 5z + 4 = 0 risolvo ed ottengo z1 = 1 z2 = 4 ho quindi le soluzioni x1 = 1 y1 = 4          x2 = 4 y2 = 1 Risolvo il secondo: x + y = 17 xy = 142 considero l'equazione associata z2 - 17z + 142 = 0 risolvo ed ottengo il termine sotto radice minore di zero Delta= 289 - 568 = -279 < 0 quindi non ho soluzioni reali Raccogliendo ho le 2 soluzioni reali x1 = 1       x2 = 4 y1 = 4 y2 = 1 Come vedi non e' che si lavori di meno, si lavora in modo automatico senza dover pensare, cosa che e' del tutto contraria alla Matematica. Puo' servire al massimo come metodo per scrivere un programma per calcolatore che risolva automaticamente i sistemi simmetrici