Complemento algebrico di un elemento del determinante Consideriamo il determinante a1,1    a1,2    . . .   a1,k   . . .    a1,n a2,1   a2,2    . . .   a2,k   . . .    a2,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ah,1   ah,2    . . .   ah,k   . . .    ah,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an,1   an,2    . . .   an,k   . . .    an,n Per vedere come calcolarlo introduciamo la nozione di complemento algebrico prima definiamo il complemento e poi il complemento algebrico Definiamo complemento Ch,k di un elemento qualunque ah,k il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l'elemento in questione ah,k indica semplicemente uno degli elementi della matrice, siccome ne posso prendere uno qualunque metto ah,k per indicare un elemento generico Esempio: consideriamo una matrice di ordine 4 e calcoliamo il complemento di a2,2 a1,1    a1,2    a1,3    a1,4 a2,1   a2,2    a2,3    a2,4 a3,1   a3,2    a3,3   a3,4 a4,1    a4,2    a4,3    a4,4 = a1,1    a1,3    a1,4 a3,1    a3,3    a3,4 a4,1    a4,3    a4,4 = C2,2 elimino la riga e la colonna dove c'e' a2,2 (elimino gli elementi in blu) ed ottengo il complemento C2,2 di a2,2 Passiamo ora alla nozione di complemento algebrico E' detto algebrico perche' dotato di un segno Definiamo complemento algebrico (-1)(h+k)·Ch,k di un elemento qualunque ah,k il determinante che si ottiene togliendo la riga e la colonna su cui si trova l'elemento in questione con il segno positivo se h+k=numero pari ed il segno negativo se h+k=numero dispari Per questo si mette (-1)h+k perche' se (h+k) e' pari eseguendo la potenza ottengo +1 mentre se (h+k) e' dispari ottengo -1 Ad esempio calcoliamo il complemento algebrico di a2,2 a1,1    a1,2    a1,3    a1,4 a2,1   a2,2    a2,3    a2,4 a3,1   a3,2    a3,3   a3,4 a4,1    a4,2    a4,3    a4,4 = + a1,1    a1,3    a1,4 a3,1    a3,3    a3,4 a4,1    a4,3    a4,4 = + C2,2 elimino la riga e la colonna dove c'e' a2,2 (elimino gli elementi in blu) ed ottengo il complemento C2,2 di a2,2; metto il segno positivo perche' 2+2=4 numero pari ed ottengo il complemento algebrico calcoliamo ora il complemento algebrico di a2,3 a1,1    a1,2    a1,3    a1,4 a2,1    a2,2    a2,3    a2,4 a3,1   a3,2    a3,3   a3,4 a4,1    a4,2    a4,3    a4,4 = - a1,1    a1,2    a1,4 a3,1    a3,2    a3,4 a4,1    a4,2    a4,4 = - C2,3 elimino la riga e la colonna dove c'e' a2,3 (elimino gli elementi in blu) ed ottengo il complemento C2,3 di a2,3; metto il segno negativo perche' 2+3=5 numero dispari ed ottengo il complemento algebrico