Matrice inversa di una matrice quadrata Una matrice quadrata A-1si dice inversa della matrice quadrata A se vale A A-1 = A-1 A = u Come nei numeri non puoi fare l'inverso dello zero qui non potrai fare la matrice inversa delle matrici il cui determinante vale zero (vengono chiamate matrici singolari) Diciamo subito che calcolare la matrice inversa di una matrice data e' un'operazione laboriosa, quindi dovrai fare parecchi esercizi; comunque le operazioni da svolgere sono le seguenti Prima calcola il valore del determinante della matrice, chiamiamolo det(A) e vediamo se e' diverso da zero; se e' uguale a zero non esiste la matrice inversa Calcola la trasposta della matrice di partenza (basta scambiare tra loro le righe con le colonne) Per ogni elemento della matrice trasposta calcolane il complemento algebrico, considerando il complemento algebrico come elemento ottieni una nuova matrice, chiamiamola A' (si chiama matrice aggiunta) Adesso dividi la matrice A' per det(A) (cioe' dividi ogni termine per det(A)) e ottieni l'inversa della matrice quadrata di partenza Per esercizio vediamolo su un esempio numerico A = 1     1     2 2     1     2 1    -2     1 Voglio trovare l'inversa A-1 Calcoliamo il valore del determinante della matrice A A = 1     1     2 2     1     2 1    -2     1 = -5           Calcoli Calcolo la trasposta della matrice di partenza (scambio tra loro le righe con le colonne) AT = 1     2     1 1     1    -2 2     2     1 Per ogni elemento del determinante della matrice trasposta calcolo il complemento algebrico; nel calcolo ricordati di cambiare di segno gli elementi di posto dispari C1,1 = 5                  Se vuoi vedere il calcolo dei complementi algebrici C1,2 = -5 C1,3 = 0 C2,1 = 0 C2,2 = -1 C2,3 = 2 C3,1 = -5 C3,2 = 3 C3,3 = -1 consideriamo quindi la matrice A' che ha come elementi i complementi algebrici trovati A' =  5    -5     0  0    -1     2 -5     3    -1 Adesso divido la matrice A' per il valore del determinante di A (che valeva -5) e ottengo la matrice A-1 cioe' l'inversa di quella di partenza A-1 = 1 - -----    5  5    -5     0  0    -1     2 -5     3    -1 = -1      1        0  0     1/5    -2/5  1    -3/5    1/5 Come vedi bisogna fare un sacco di calcoli, ed ho preso solo una matrice 3x3 Importante: la matrice unitaria e' inversa di se' stessa, cioe' se calcoli l'inverso della matrice unitaria ottieni la stessa matrice (come nei numeri: l'inverso di 1 e' sempre 1) Esercizi: prova a moltiplicare questa matrice per quella di partenza e controlla che effettivamente ottieni la matrice unitaria Calcola l'inversa della matrice unitaria per controllare che coincide con la matrice di partenza Fare link con esercizi risolti