Calcolare il valore dell'integrale x arctang x dx = Questa volta c'e' poco da scegliere: di arctang x conosco solo la derivata e non l'integrale quindi considero x come funzione di cui trovare l'integrale e arctang x come funzione di cui trovare la derivata cioe' dalla formula: f·g = f·g - ( f '· g) pongo f = arctang x g = x quindi ottengo ( 1 ) = arctang x · x dx - --------· x dx dx = 1 + x2 x2 1 x2 = arctang x · ---- - -------- · ------ dx = 2 1 + x2 2 x2 1 x2 = ---- arctang x - --- -------- dx = 2 2 1 + x2 Nel secondo integrale aggiungo e tolgo 1 al numeratore Integrali per scomposizione x2 1 x2 + 1 - 1 = ---- arctang x - --- ------------- dx = 2 2 1 + x2 spezzo l'integrale in due x2 1 x2 + 1 1 = ---- arctang x - --- ( ---------- dx - -------- dx )= 2 2 1 + x2 1 + x2 x2 1 1 = ---- arctang x - --- ( 1dx - -------- dx )= 2 2 1 + x2 Ora so fare entrambe gli integrali (sono immediati) x2 1 = ---- arctang x - --- ( x - arctang x ) = 2 2 x2 1 1 = ---- arctang x - --- x + --- arctang x + c 2 2 2