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Consideriamo il fascio di circonferenze (1+k)x2 + (1+k)y2 + x(a1 + ka2) +y(b1 + kb2) + c1 + kc2= 0 tra le varie circonferenze del fascio scegliamo quella data da k=-1 (1-1)x2 + (1-1)y2 + x(a1 -a2) +y(b1 - b2) + c1 - c2= 0 Ottengo (a1 -a2)x + (b1 - b2)y + c1 - c2= 0 Questa e' un'equazione di primo grado che rappresenta una retta: tale retta e' l'asse radicale del fascio Puoi pensare l'asse radicale come una circonferenza di raggio infinito, quindi anche questa e' una circonfernza: la circonferenza degenere del fascio In effetti la circonferenza degenere e' effettivamente una circonfernza del fascio, infatti indicata con C una delle circonferenza di base e con C' l'altra abbiamo che posso scrivere il fascio come C + kC' = 0 e posso indicare l'asse radicale come C - C' = 0 Prendo l'equazione del fascio con h al posto di k C +hC' = 0 aggiungo e tolgo hC C +hC' + hC - hC = 0 ordino C + hC + hC' - hC = 0 raccolgo i termini due a due C(1+h) +h(C'-C) = 0
C + k(C - C') = 0 Cioe' posso semplificare un po' l'equazione del fascio sostituendo ad una delle due equazioni di circonferenza l'asse radicale del fascio stesso Facciamo un esempio: considero il fascio della pagina precedente x2 + y2 -2y -1 +k(x2 + y2 + 2x + 1) = 0 l'asse radicale lo trovo ponendo k=-1 x2 + y2 -2y -1 -1(x2 + y2 + 2x + 1) = 0 ottengo -2x -2y -2 = 0 o meglio, dividendo per 2 e cambiando di segno x + y + 1 = 0 Posso quindi sostituire all'equazione originale del fascio l'equazione: x2 + y2 -2y -1 +k(x + y + 1) = 0 |
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