esercizio Esercizio 3 Date le coordinate dei punti base A≡(2;5) B≡(-2;1) 1) Determinare l'equazione esplicita della famiglia di parabole con asse verticale da essi generata 2) Determinare il luogo dei vertici delle parabole della famiglia 3) determinare l'equazione delle parabole del fascio avente i vertici sulla retta y = 3x +4 Determinare l'equazione esplicita della famiglia di parabole con asse verticale generata dai punti base Per determinare l'equazione della famiglia basta sostituire nell'equazione della parabola generica con asse verticale y=ax2+bx+c al posto di x ed y le cordinate di A e B: otterremo un sistema di due equazioni in tre incognite: risolvendo otterremo i risultati dipendenti dalla terza incognita che chiameremo infine k e quindi avremo l'equazione della famiglia di parabole cercata Da notare inoltre, che, se lasciamo come variabile a, la parabola della famiglia che otterremo per k=0 sara' sempre la parabola degenere, cioe' la retta passante per A e B Impongo che la generica parabola con asse verticale y=ax2+bx+c passi perA≡(2;5) e B≡(-2;1) Passaggio per A: 5 = 4a+2b+c Passaggio per B: 1 = 4a-2b+c Faccio il, sistema 5 = 4a+2b+c 1 = 4a-2b+c leggo alla rovescia 4a+2b+c = 5 4a-2b+c = 1 ricavo 4a da sopra e sostituisco sotto 4a = 5 -2b-c 5-2b-c-2b+c=1 4a = 5 -2b-c -4b=-4 4a = 5 -2b-c b= 1 sostituisco sopra 4a = 5 -2-c b= 1 Ricavo c da sopra c = -4a +3 b= 1 Ottengo quindi ponendo a=k e sostituendo nell'equazione della parabola generica y = kx2 +x -4k+3 Determinare il luogo dei vertici delle parabole della famiglia Per determinare il luogo dei vertici troviamo il vertice generico dipendente da k; eliminando k dalle coordinate del vertice generico troveremo un'espressione in x ed y che ci fornira' l'equazione del luogo cercato Vertice generico V Vx = -b 2a Vy = - b2 - 4ac 4a Essendo: a=k b = 1 c = -4k+3 avremo per V≡(x;y) x = -1 2k y = - 12 - 4k(-4k+3) 4k = - 1+16k2 - 12k 4k = - 16k2 - 12k + 1 4k Mettiamo a sistema x = -1 2k y = - 16k2 - 12k + 1 4k Ricavo k da sopra e sostituisco sotto (suppongo k ≠ 0) k = -1 2x y = - 16(-1/2x)2 - 12(-1/2x) + 1 4(-1/2x) sviluppo solamente la seconda y = - 4/(x)2 + 6/x + 1 -2/x y = 4/(x)2 + 6/x + 1 2/x Moltiplico sopra e sotto per x2 (posso farlo perche' ho supposto x ≠ 0) y = 4 + 6x + (x)2 2x Quindi i vertici delle parabole della famiglia si dispongono sulla funzione y = 2/x + 3 + 1/2 x Intuitivamente si tratta della somma di una parabola y=2/x riferita ai propri assi e di una retta y=1/2 x + 3 e, se vuoi, si puo' costruire per punti ; (fare link)Si puo' anche dire che si tratta di una funzione omografica che tratteremo nel prossimo capitolo (ancora da scrivere) determinare l'equazione delle parabole del fascio avente i vertici sulla retta y = 3x +4 Traccia: imponiamo che le coordinate del vertice generico soddisfino l'equazione della retta, risolvendo l'equazione troveremo i valori di k che ci daranno le parabole cercate. Equazione della retta y = 3x +4 Coordinate del vertice generico x = -1 2k y = - 16k2 - 12k + 1 4k sostituisco le coordinate del vertice nell'equazione della retta ed ottengo - 16k2 - 12k + 1 4k = -3 2k + 4 supponendo k≠0 faccio il mcm -16k2 + 12k - 1 4k = -6 + 16k 4k ottengo -16k2 + 12k - 1 = -6 + 16k -16k2 + 12k - 1 +6 - 16k = 0 -16k2 - 4k +5 = 0 16k2 + 4k -5 = 0 Risolvo ed ottengo se vuoi vedere i calcoli k1= (-1-√21)/8         k2= (-1+√21)/8 Sostituendo tali valori di k nell'equazione della famiglia troviamo le parabole cercate Equazione della famiglia y = kx2 +x -4k+3 sostituisco k1= (-1-√21)/8 y = (-1-√21)/8 x2 + x - 4(-1-√21)/8 + 3 y = (-1-√21)/8 x2 + x + 1/2 +(√21)/2 + 3 prima parabola y = (-1-√21)/8 x2 + x + 7/2 +(√21)/2 sostituisco k2= (-1+√21)/8 y = (-1+√21)/8 x2 + x - 4(-1+√21)/8 + 3 y = (-1+√21)/8 x2 + x + 1/2 -(√21)/2 + 3 seconda parabola y = (-1+√21)/8 x2 + x + 7/2 -(√21)/2