Se in un triangolo l'altezza, la mediana e la bisettrice condotte dal vertice opposto alla base sono coincidenti allora il triangolo e' isoscele posso anche prendere per ipotesi che coincidono altezza e mediana oppure prendere per ipotesi che coincidono altezza e bisettrice od anche prendere per ipotesi che coincidono mediana e bisettrice in tutti e tre i casi il triangolo sara' isoscele; Quindi ho tre possibili dimostrazioni Prendiamo per ipotesi che coincidano altezza e mediana Ipotesi AHB=AHC=angolo retto BH=HC Tesi AB=AC Dimostrazione: considero i triangoli ABH ed AHC essi hanno gli angoli ABH=AHC perche' retti BH=HC per ipotesi AH in comune Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio ed in particolare avremo i lati AB ed AC congruenti fra loro Prendiamo per ipotesi che coincidano altezza e bisettrice Ipotesi AHB=AHC=angolo retto, angoli BAH=HAC Tesi AB=AC Dimostrazione: considero i triangoli ABH ed AHC essi hanno gli angoli ABH=AHC perche' retti BAH=HAC per ipotesi AH in comune Quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio ed in particolare avremo i lati AB ed AC congruenti fra loro Prendiamo per ipotesi che coincidano mediana e bisettrice Ipotesi BH=HC angoli BAH=HAC Tesi AB=AC Dimostrazione: opero un ribaltamento del semipiano sinistro rispetto alla retta AH contenente il lato AB attorno alla retta AH: siccome gli angoli BHA ed AHC sono congruenti avremo che la semiretta AB si posizionera' sulla semiretta AC e siccome sono congruenti anche i segmenti BH e HC e BHC e' un angolo piatto nel ribaltamento il segmento AB coincidera' esattamente con il segmento AC ed il punto B si trasferira' sul punto C come volevamo