Teorema In un parallelogramma le diagonali si tagliano a meta' e viceversa Se in un quadrilatero le diagonali si tagliano a meta' allora il quadrilatero e' un parallelogramma Dimostriamo prima il teorema diretto e poi il teorema inverso teorema diretto In un parallelogramma le diagonali si tagliano a meta' ipotesi   AB // CD    BC // AD   tesi   AO = OC    BO=OD   Dimostrazione traccio le diagonali AC e BD e considero i due triangoli AOD e BOC; essi hanno: l'angolo DAO^ congruente all'angolo OCB^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale AC l'angolo ADO^ congruente all'angolo OBC^ perche' alterni interni rispetto alle parallele AD e BC tagliate dalla trasversale BD il lato AD e' congruente al lato BC per il primo dei teoremi dimostrati Quindi i due triangoli AOD e BOC sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli (un lato e due angoli), in particolare avranno AO=OC e BO=OD, come volevamo teorema inverso Se in un quadrilatero le diagonali si tagliano a meta' allora il quadrilatero e' un parallelogramma ipotesi   AO = OC    BO=OD   tesi   AB // CD    BC // AD   Dimostrazione considero i triangoli AOD e BOC, essi hanno AO = OC per ipotesi BO = OD per ipotesi AOD^ = BOC^ perche' opposti al vertice I due triangoli AOD e BOC sono congruenti per il primo criterio e quindi hanno congruenti tutti gli elementi; in particolare: essendo l'angolo ODA^ congruente all'angolo OBC^ ed essendo questi angoli alterni interni rispetto alle rette AD e BC tagliate dalla trasversale BD allora le due rette AD e BC saranno parallele Basta ora considerare i triangoli AOB e COD e ripetere lo stesso ragionamento per dimostrare il parallelismo fra le rette AB e CD come volevamo Avendo dimostrato sia il teorema diretto che quello inverso i due fatti, parallelogramma e lati opposti congruenti, saranno equivalenti