Problema Se in un triangolo rettangolo e' iscritto un quadrato con un lato sull'ipotenusa allora l'ipotenusa e' divisa in 3 segmenti in cui quello centrale e' medio proporzionale fra gli altri due Costruiamo prima di tutto la figura Ipotesi: BAC^ = angolo retto GD, FE perpendicolari a BC GDEF e' un quadrato Tesi: BD : DE = DE : EC Dimostriamo prima che sono simili i triangoli BDG e AGF, poi dimostriamo che AGF e' simile a FEC. Per la proprieta' transitiva della similitudine avremo che BDG risulta simile a FEC e quindi scriveremo la proporzione ricordando che i quattro lati del quadrato sono congruenti. Considero i triangoli BDG ed AGF: essi hanno BDG = GAF^ ^perche' angoli retti (il primo e' un angolo esterno di un quadrato, il secondo e' retto per ipotesi) Esendo GDEF un quadrato con il lato DE sull'ipotenusa del triangolo ABC, ne segue che GF e' parallelo a BC e quindi GBD = AGF^ ^perche' angoli corrispondenti rispetto alle parallele BC e GF tagliate dalla trasversale AB quindi per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili Considero ora i triangoli AGF ed ECF: essi hanno FAG = FEC^ ^perche' angoli retti (il primo e' retto per ipotesi, il secondo e' un angolo esterno di un quadrato) Esendo GDEF un quadrato con il lato DE sull'ipotenusa del triangolo ABC, ne segue che GF e' parallelo a BC e quindi GFA = ECF^ ^perche' angoli corrispondenti rispetto alle parallele BC e GF tagliate dalla trasversale AC quindi per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili. Allora, per la proprieta' transitiva (inserire nota) della similitudine posso dire che il triangolo GBD e' simile al triangolo FEC e posso scrivere BD : EF = GD : EC ed essendo EF = GD = DE perche' lati di un quadrato, ne segue la tesi BD : DE = DE : EC come volevamo dimostrare