Unicita' dell'elemento neutro Proprieta': In ogni gruppo (A ; ) l'elemento neutro e' unico Cioe' in ogni gruppo c'e' un elemento neutro ed uno solo Dimostrazione: Ipotesi: (A ; ) e' un gruppo Tesi: l'elemento neutro n e' unico Per definizione di gruppo un elemento neutro deve esistere quindi bastera' dimostrare che c'e n'e' uno solo (e' unico) Per assurdo supponiamo che esistano due elementi neutri n ed u, allora avro' per ogni elemento a di A: n a = a n = a u a = a u = a Ora, essendo u un elemento di A considero a = u ed ottengo dalla prima n u = u n = u Poi essendo n un elemento di A considero a = n ed ottengo dalla seconda u n = n u = n Confrontando le uguaglianze sopra ottengo n = u Cioe' se esistono due elementi neutri essi sono uguali, come volevamo dimostrare.