esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l'insieme P(A) insieme potenza dell'insieme A con le operazioni di differenza simmetrica ed intersezione Per ripassare      l'insieme P(A)             la differenza simmetrica             l'intersezione Dimostrazione: dovremo mostrare: la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione la presenza di un semigruppo con la seconda operazione il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima Cominciamo dal primo punto Mostriamo che ( P(A),) e' un gruppo; devono valere le proprieta': e' interna: avremo sempre che la differenza simmetrica di due elementi di P(A) e' sempre ancora un elemento di P(A) Infatti P(A) e' costituito da tutti i sottoinsiemi di A cioe' gli insiemi che posso costruire con gli elementi di A, insieme vuoto compreso, quindi se da due sottoinsiemi tolgo alcuni elementi dell'insieme A avremo ancora un sottoinsieme di A e' associativa, infatti chiamati A1, A2 e A3 tre elementi di P(A) abbiamo: (A1 A2) A3 = A1 ( A2 A3) Infatti siccome la differenza simmetrica toglie elementi da entrambe gli insiemi che coinvolge, sia che li tolga prima o dopo, quando coinvolge gli stessi insiemi da' sempre lo stesso risultato mostriamolo anche su un esempio pratico: Considero l'insieme A = { Ø, 1, 2, 3, 4 } Allora l'insieme potenza e' l'insieme composto dagli elementi    { Ø }    { 1 }    { 2 }    { 3 }    { 4 }    { 1, 2 }    { 1 3 }    { 1 4 }    { 2, 3 }    { 2, 4 }    { 3, 4 }    { 1, 2, 3 }    { 1, 2, 4 }    { 1, 3, 4 }    { 2, 3, 4 }    { 1, 2, 3, 4 } Consideriamo: A1 = { 1, 2, 4 }    A2 = { 1, 3, 4 }    A3 = { 1, 4 } (A1 A2) A3 = A1 ( A2 A3) per mostrarlo facciamo i calcoli prima e dopo l'uguale e mostriamo che i risultati sono uguali: ({ 1, 2, 4 } { 1, 3, 4 }) { 1, 4 } = { 3 } { 1, 4 } = { 1, 3, 4 } { 1, 2, 4 } ( { 1, 3, 4 } { 1, 4 }) = { 1, 2, 4 } { 3 } = { 1, 3, 4 } + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento Ø, cioe' il sottoinsieme vuoto e la differenza simmetrica fra l'insieme vuoto e qualsiasi sottoinsieme e' sempre lo stesso sottoinsieme AnØ = Ø An = An ogni elemento An di P(A) possiede in l'elemento simmetrico: basta considerare l'insieme complementare di An rispetto ad A perche' la differenza simmetrica dia come risultato l'insieme vuoto se ad esempio considero l'insieme { 1, 2 } il suo complementare rispetto ad A sara { 3, 4 } e facendo la differenza complementare avremo che spariscono tutti gli elementi e resta il vuoto { 1, 2 } { 3, 4 } = { 3, 4 } { 1, 2 } = Ø Quindi ( P(a), ) e' un gruppo; la commutativita' deriva dal fatto che l'operazione restituisce gli elementi non comuni fra due insiemi, quindi e' indifferente l'ordine in cui li considero Mostriamo che ( P(A), ) e' un semigruppo Basta mostrare che e' associativa, cioe' chiamati A1, A2 e A3 tre elementi di P(x) abbiamosempre: (A1 A2) A3 = A1 (A2 A3) Infatti, poiche' l'operazione intersezione fr insiemi restituisce gli elementi che gli insiemi hanno in comune, in qualunque ordine considereremo i 3 insiemi avremo sempre lo stesso risultato (cioe' gli elementi comuni ai 3 insiemi) Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' dati A1, A2 e A3 appartenenti a P(A) avremo sempre A1 (A2 A3] = A1 A2 A1 A3 (A2 A3] A1 = A2 A1 A3 A1 Questo e' un po' difficile da dimostrare: limitiamoci amostrare che e' vero su un esempio Consideriamo i tre insiemi    A1 = { 1, 2, 4 }    A2 = { 1, 3, 4 }    A3 = { 2, 4 } mostriamo che, nella prima uguaglianza sono uguali i risultati sviluppando prima dell'uguale e dopo l'uguale Prima dell'uguale: { 1, 2, 4 } ({ 1, 3, 4 } { 2, 4 }) = { 1, 2, 4 } { 1, 2, 3 } = { 1, 2 } dopo l'uguale { 1, 2, 4 } { 1, 3, 4 } { 1, 2, 4 } { 2, 4 } = { 1, 4 } { 2, 4 } { 1, 2 } Quindi la struttura ( P(A), , ) e' un anello Siccome l'operazione in P(A) e' commutativa avremo che l'anello e' commutativo Poiche' l'intersezione in A ha come elemento neutro l' insieme A stesso e tale elemento e' definito in modo univoco allora posso parlare di un solo elemento neutro e l'anello e' unitario