esercizio

Mostrare la presenza della struttura ad anello per l'insieme H(2) delle matrici 2x2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione riga per colonna
Per ripassare      le matrici quadrate             addizione             prodotto righe per colonne
Il ragionamento fatto per le matrici quadrate 2X2 vale in generale per le matrici quadrate nXn per la parte relativa al gruppo

Dimostrazione:
dovremo mostrare:
  • la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
  • la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
  • il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( H2,) e' un gruppo; devono valere le proprieta':

    • e' interna infatti avremo sempre che la somma di due matrici quadrate e' ancora una matrice quadrata dello stesso tipo
      facciamo un esempio pratico:
      a1,1     a1,2
      a2,1     a2,2
      b1,1     b1,2
      b2,1     b2,2
      		  =  
      a1,1+b1,1     a1,2+b1,2
      a2,1+b2,1     a2,2+b2,2
      essendo la somma di due numeri interi ancora un numero intero segue quello che cercavamo

    • + e' associativa, infatti chiamati H2(A), H2(B) e H2(C) tre elementi di H2 abbiamo:
      [H2(A) H2(B)] H2(C) = H2(A) [ H2(B) H2(C)]
      Deriva dal fatto che la somma fra numeri naturali e' commutativa

    • possiede l'elemento neutro che e' la matrice
      0     0
      0     0
      infatti sommando 0 a qualunque elemento tale elemento non cambia

    • ogni elemento H2(A) di H2 possiede in l'elemento simmetrico: infatti basta considerare la matrice formata dagli opposti della matrice di partenza
      a1,1     a1,2
      a2,1     a2,2
      -a1,1     -a1,2
      -a2,1     -a2,2
      		  =  
      0     0
      0     0

    Quindi ( H2, ) e' un gruppo; e' commutativo perche' la somma fra elementi delle matrici discende dalla somma fra numeri interi

Mostriamo che ( H2, ) e' un semigruppo
  • Basta mostrare che e' associativa, cioe' chiamate H2(A), H2(B) e H2(C) tre elementi di H2 abbiamo sempre:
    [H2(A) · H2(B)] · H2(C) = H2(A) · [H2(B) · H2(C)]
    Questo deriva dal fatto che nelle matrici quadrate 2x2 il prodotto riga per colonna e' associativo: Mostriamolo: siccome la dimostrazione e' piuttosto lunga ti faccio un esempio in una pagina a parte: segui il link

  • Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' presi H2(A), H2(B) e H2(C) tre elementi di H2avremo sempre
    H2(A) [H2(B) H2(C)] = H2(A) H2(B) H2(A) H2(C)
    [H2(B) H2(C)] H2(A) = H2(B) H2(A) H2(C) H2(A)

    Anche qui i calcoli sono molto laboriosi, ma intuitivamente epossiamo dire che questo deriva dalle proprieta' dell'operazione somma fra numeri interi; comunque limitiamoci ad un esempio

Quindi la struttura ( H2, , ) e' un anello

Siccome la moltiplicazione in H2 non e' commutativa avremo che l'anello non e' commutativo

Poiche' la moltiplicazione in H2 ha come elemento neutro l'elemento
1     0
0     1
e tale elemento e' definito in modo univoco posso parlare di un solo elemento neutro e l'anello e' unitario