esercizio Verificare la presenza delle strutture di corpo e di campo sull' insieme r2 dei resti modulo 2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione Sara' il campo piu' semplice che possiamo pensare: composto da due soli elementi. Dimostrazione: dovremo mostrare per il corpo: la presenza di un gruppo commutativo con la somma la presenza di un gruppo con il prodotto escludendo l'elemento neutro per l'addizione (lo zero) il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima per il campo aggiungeremo la dimostrazione della commutativita' della seconda operazione Cominciamo dal primo punto Mostriamo che ( r2, +) e' un gruppo; devono valere le proprieta': + e' interna infatti avremo sempre che 0 + 0 = 0          0 + 1 = 1 + 0 = 1          1 + 1 = (2)2 = 0 tutti i risultati appartengono ad A inoltre l'operazione e' commutativa perche' scambiando l'ordine dei fattori il risultato e' lo stesso Se non hai capito ferma il mouse sulla terza somma + e' associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a + b) + c = a + ( b + c) Per mostrarlo posso considerare le 8 possibilita' (0 + 0) + 0 = 0 + ( 0 + 0) = 0 (0 + 0) + 1 = 0 + ( 0 + 1) = 1 (0 + 1) + 0 = 0 + ( 1 + 0) = 1 (1 + 0) + 0 = 1 + ( 0 + 0) = 1 (0 + 1) + 1 = 0 + ( 1 + 1) = (2)2 = 0 (1 + 0) + 1 = 1 + ( 0 + 1) = (2)2 = 0 (1 + 1) + 0 = 1 + ( 1 + 0) = (2)2 = 0 (1 + 1) + 1 = 1 + ( 1 + 1) = (3)2 = 1 + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento 0 tale che per ogni elemento di r2 abbiamo 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1 cioe' sommando 0 a qualunque elemento l'altro elemento non cambia ogni elemento di r2 possiede in + l'elemento simmetrico: infatti 0 + 0 = 0 e 0 e' simmetrico di se' stesso 1 + 1 = 0 e 1 e' simmetrico di se' stesso Quindi ( r2, +) e' un gruppo commutativo; Mostriamo che ( r2, ·) e' un gruppo; devono valere le proprieta': · e' interna infatti avremo sempre che 0 · 0 = 0          0 · 1 = 1 · 0 = 1          1 · 1 = 1 tutti i risultati appartengono ad r2 inoltre l'operazione e' commutativa (scambiando i posti il risultato del prodotto e' lo stesso) · e' associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a · b) · c = a · ( b · c) Per mostrarlo posso considerare le 8 possibilita' (0 · 0) · 0 = 0 · ( 0 · 0) = 0 (0 · 0) · 1 = 0 · ( 0 · 1) = 0 (0 · 1) · 0 = 0 · ( 1 · 0) = 0 (1 · 0) · 0 = 1 · ( 0 · 0) = 0 (0 · 1) · 1 = 0 · ( 1 · 1) = 0 (1 · 0) · 1 = 1 · ( 0 · 1) = 0 (1 · 1) · 0 = 1 · ( 1 · 0) = 0 (1 · 1) · 1 = 1 · ( 1 · 1) = 1 + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento 1 tale che per ogni elemento di r2 abbiamo 1 · 1 = 1 0 · 1 = 1 · 0 = 0 cioe' moltiplicando 1 a qualunque elemento l'altro elemento non cambia ogni elemento di r2 ad eccezione di 0 possiede in · l'elemento simmetrico: infatti, togliendo 0 ci resta solo 1 e poiche' 1 · 1 = 1 allora 1 e' elemento simmetrico di se' stesso rispetto alla moltiplicazione Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' dati a, b e c appartenenti a r2 avremo sempre a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a Per mostrarlo dovrei considerare le 16 possibilita', ma preferisco dire che deriva dalla distributivita' del prodotto rispetto alla somma che vale nell'insieme dei numeri naturali Quindi la struttura ( r2, +, ·) e' un campo Infatti abbiamo visto che la moltiplicazione in r2 e' commutativa