Esempio di morfismo In pratica dobbiamo vedere se un'operazione si "mantiene" quando traformiamo mediante funzioni gli oggetti di un dominio su cui tale operazione lavora: naturalmente se gli oggetti sono trasformati anche l'operazione sul codominio potra' essere diversa, pero' talvolta l'operazione valida nel primo insieme trova corrispondenza in un'operazione nel secondo insieme nel senso che operando sui trasformati dei singoli termini oppure sul trasformato del risultato otteniamo gli stessi valori: in questo caso diciamo che abbiamo un morfismo Per capire bene il concetto partiamo da degli esempi e vedrai che e' piu' difficile da dire che da fare, poi, nella pagina successiva, diamo la definizione matematica Condideriamo due insiemi e costruiamo una funzione che ci trasformi gli elementi del primo insieme negli elementi del secondo insieme. Consideriamo come insieme di partenza l'insieme N dei numeri Naturali e come secondo insieme l'insieme dei quadrati N2 dei numeri naturali N = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... } f  | | | | | | | | | |     N2 = { 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ... } e consideriamo la funzione f tale che ad ogni numero faccia corrispondere il suo quadrato f: n -> n2 cioe' f(1) = 1 f(2) = 4 f(3) = 9 ............. f(n) = n2 ............. Condideriamo ora il prodotto: per distinguere chiamiamo: x il prodotto nel primo insieme il prodotto nel secondo insieme Facciamo un prodotto nel primo insieme 3 x 2 = 6 se consideriamo i corrispondenti nel secondo insieme abbiamo 9 4 = 36 e l'uguaglianza e' valida quindi abbiamo che sull'insieme N dotato dell'operazione di moltiplicazione x la funzione f e' un morfismo; cioe' intuitivamente una funzione e' un morfismo se conserva l'operazione 3 x 2 = 6 f  |   |   | 9 4 = 36 Sullo stesso esempio vediamo che se dotiamo l'insieme N dell'operazione somma allora f non e' piu' un morfismo Per distinguere chiamiamo: + la somma nel primo insieme la somma nel secondo insieme Facciamo una somma nel primo insieme 3 + 2 = 5 se consideriamo i corrispondenti nel secondo insieme abbiamo 9 4 = 25 e l'uguaglianza non e' valida quindi abbiamo che sull'insieme N dotato dell'operazione di addizione + la funzione f non e' un morfismo;   3 + 2 = 5   f  |   |   | | 9 4 = 13 Deriva da cio' che il concetto di morfismo e' strettamente legato al concetto di operazione: cioe' il morfismo e' un'applicazione che trasporta un'operazione da un insieme ad un altro