Isomorfismo Veniamo adesso all'applicazione che prende una struttura e la trasforma in una struttura equivalente, quindi ci servira' per individuare sottostrutture simili in strutture diverse, tipo la struttura dei numeri reali all'interno della struttura dei numeri complessi, oppure la struttura di Z all'interno di Q e cosi' via di seguito: naturalmente questo lo sapevamo gia', ma potremo applicare il metodo anche ad altri insiemi di enti per trovare relazioni che non conosciamo In pratica corrispondera' a trovare la corrispondenza biunivoca fra strutture o fra parti di strutture Abbiamo un isomorfismo se abbiamo un morfismo che sia contemporaneamente monomorfismo ed epimorfismo, cioe' tale che l'applicazione f sia iniettiva ed anche surriettiva definizione: Date due strutture (A, x) e (B, ) dotate dell' operazione x sull'insieme A e sull' insieme B se l'applicazione f: A -> B e' un morfismo ed e' contemporaneamente iniettiva e suriettiva allora f e' un isomorfismo fra le due strutture. Esempio: Consideriamo le due strutture (N, +)        cioe' l'insieme dei numeri naturali con l'operazione di addizione (10N, ·)        cioe' l'insieme delle potenze del 10 con esponente naturale con l'operazione di prodotto e consideriamo l'applicazione f: N -> 10n       f(a) = 10a Applichiamo la definizione per due elementi a e b di N f(a)·f(b) = f(a+b) 10a · 10b = 10a+b l'uguaglianza e' valida, (vedi le regole per il prodotto di potenze con la stessa base) quindi f e' un morfismo fra le due strutture l'applicazione e' iniettiva perche' ogni elemento diverso di N viene trasformato in un solo elemento di 10N l'applicazione e' suriettiva perche' ogni elemento di 10N deriva da un elemento di N