Combinazioni semplici Partiamo da un esempio pratico: troviamo tutte le terne non ordinate che posso formare con i 4 oggetti (disposizioni semplici di 4 oggetti presi 3 a 3) a    b    c    d Prima troviamo le disposizioni semplici (cioe' le terne ordinate) poi togliamo l'ordine a b c      a b d      a c d      b c d a c b      a d b      a d c      b d c b a c      b a d      c a d      c b d c a b      d a b      d a c      d b c b c a      b d a      c d a      c d b c b a      d b a      d c a      d c b come fare le tabelle rapidamente Ogni colonna contiene la stessa terna ordinata in modo diverso, quindi se considero le combinazioni ogni colonna mi corrisponde ad una sola terna, cioe' C4;3 = 4 e precisamente le 4 combinazioni sono a b c      a b d      a c d      b c d In pratica per trovare le combinazioni (che sono non ordinate) devo prendere le disposizioni (che sono ordinate) e dividerle per le permutazioni (che danno l'ordine), cioe' C4;3 = D4;3 --------- P3 4·. . .·(4-3+1) = ------------------------   3! Generalizziamo e ricaviamo la formula generale: Cn;k = Dn;k --------- Pk n·(n-1)· . . . ·(n-k+1) = ----------------------------   k! Come formula e' un po' scomoda, cerchiamo di scriverla in modo diverso (legge dei tre fattoriali) n·(n-1)· . . . ·(n-k+1)   ---------------------------- = k! Moltiplico sopra e sotto per (n-k)! n·(n-1)· . . . ·(n-k+1) ·(n-k)! = ---------------------------------------- = k!(n-k)! ma il prodotto n·(n-1)· . . . ·(n-k+1) ·(n-k)! corrisponde ad n! cioe' il prodotto di n per tutti i suoi antecedenti, infatti (n-k)! e' il prodotto di tutti gli antecedenti di (n-k+1), quindi ottengo: n! = ----------------------   k!(n-k)! inoltre siccome dovremo usare spesso questa espressione, la indicheremo in breve con il simbolo ( n k ) termine che sara' chiamato coefficiente binomiale Quindi fai attenzione perche' potrai trovare tre notazioni diverse: Cn;k = n·(n-1)· . . . ·(n-k+1) = ---------------------------- k! n! = --------------- = k!(n-k)! ( n k ) Poniamo per definizione che vale ( n 0 ) = 1 Nel gioco del lotto un terno si dice semplice se non conta l'ordine di uscita; troviamo quanti sono i possibili terni semplici che possiamo ottenere estraendo 3 numeri Sono le combinazioni di 90 oggetti presi 3 a 3 (di classe 3) C90;3 = 90! ------------- 3!(90-3)! 90! = ------------- = 3! 87! 90·89·88 ------------- 3·2·1 = 117480 Nota che ho usato la seconda formula e che ho semplificato 90! con 87! perche' 90! = 90·89·88·87·86·85·84·83·82........4·3·2·1 87! = 87·86·85·84·83·82......4·3·2·1 quindi posso semplificare da 87 in giu'