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Talvolta i dati portati da una distribuzione di probabilita' sono sovrabbondanti, nel senso che, per le applicazioni, puo' essere sufficiente conoscere qualche valore caratteristico, come in fisica, talvolta, per studiare il moto di un sistema e' sufficiente studiarne il moto del baricentro: il valore medio (chiamato anche speranza matematica) e' l'equivalente in teoria della probabilita' del baricentro di un sistema in fisica Il valore medio , in particolare, e' molto utile quando abbiamo un elevato numero di dati che siano abbastanza "raggruppati" Definizione: Il valore medio M(X) = m della variabile aleatoria X e' la somma dei prodotti di ogni valore Xi della variabile aleatoria per la rispettiva probabilita' pi m = M(X)= X1p1 + X2p2 + X3p3 + .... + Xnpn Qualche libro usa il simbolo µ Relativamente al suo significato potremmo anche usare questa definizione: Il valore medio di una variabile aleatoria rappresenta la previsione teorica del valore che mediamente tale variabile assumera' nell'ipotesi di eseguire un numero elevato di prove Prendiamo il solito esempio del lancio di un dado:
m = M(X) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/6 + 6 · 1/6 = 21/6 = 7/2 = 3,5 In pratica il valore medio si stabilisce fra i valori 3 e 4 dei dadi: cioe' se facessi un gran numero di lanci e considerassi la media di tutte le uscite troverei 3,5 Vediamo su un altro esempio gia' sviluppato perche' il valore medio viene anche chiamato speranza matematica: estrarre una carta da un mazzo di 40 eventi X1 Perdo 1 euro se esce una carta diversa dalle seguenti (27 carte) X2 Vinco 0 (riprendo la posta) se esce una carta di denari diversa dall'asso (9 carte) X3 Vinco 1 euro se esce un asso diverso dall'asso di denari (sarebbero 2 ma ho pagato la posta) (3 carte) X4 Vinco 21 euro se esce l'asso di denari (sarebbero 22 ma ho pagato la posta) (1 carta) probabilita' p1 = probabilita' di uscita di una carta diversa dalle precedenti = 27/40 p2 = probabilita' di uscita di carta di denari non asso = 9/40 p3 = probabilita' di uscita di asso non di denari = 3/40 p4 = probabilita' di uscita dell'asso di denari = 1/40 la variabile aleatoria e'
m = M(x) = - 1 · 27/40 + 0 · 9/40 + 1 · 3/40 + 21 · 1/40 = -3/40 Come vedi il valore medio, in questo caso in cui abbiamo preso come X le somme da vincere (perdere), corrisponde esattamente alla speranza matematica gia' trovata Guarda alla fine dell'esercizio che abbiamo gia' fatto in fondo alla pagina | .
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