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Per poter avere una buona rappresentativita' del valore medio e' necessario introdurre un indice che misuri di quanto il valore medio si discosta dai dati, cioe' la varianza Consideriamo una variabile aleatoria
Se m = M(X) e' il suo valore medio, esso sara' rappresentativo se si discosta poco dai valori della variabile, cioe' se gli scarti M(X) - Xk sono abbastanza piccoli, quindi dovrei fare una nuova tabella con gli scarti Pero', invece di considerare tutti i valori degli scarti devo cercare di concentrare il significato in un dato unico: la varianza, che misurera' la dispersione dei valori attorno al valore medio. Definizione La varianza e' il valor medio del quadrato degli scarti, cioe' la la somma dei quadrati degli scarti per le relative probabilita' Viene indicata con i simboli Var(X) oppure σ2(X) σ2(X) = M(X-m)2 =  (M(X) - Xk)2 pk
Se vuoi approfondire e vedere tutto il ragionamento per trovare la formula La varianza indica la concentrazione, quindi: Minore e' la varianza e maggiore e' la concentrazione dei dati attorno al valore medio Maggiore e' la varianza e maggiore e' la dispersione dei dati attorno al valore medio Prendiamo il solito esempio del lancio di un dado:
M(X) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/6 + 6 · 1/6 = 21/6 = 7/2 = 3,5 Quindi la varianza sara' σ2(X) =(1- 7/2)2· 1/6 + (2- 7/2)2· 1/6 + (3- 7/2)2· 1/6 +(4- 7/2)2· 1/6 + (5- 7/2)2· 1/6 +(6- 7/2)2· 1/6 = =(-5/2)2· 1/6 + (-3/2)2· 1/6 + (-1/2)2· 1/6 +(1/2)2· 1/6 + (3/2)2· 1/6 +(5/2)2· 1/6 = =(25/4) · 1/6 + 9/4 · 1/6 + 1/4 · 1/6 + 1/4 · 1/6 + 9/4 · 1/6 + 25/4 · 1/6 = = 25/24 + 9/24 + 1/24 + 1/24 + 9/24 + 25/24 = = 70/24 = 35/12 cioe' la varianza dei dati attorno al valore medio in questo caso vale circa 3 Per il calcolo pratico della varianza spesso e' utile la formula σ2(X) = M(X2)- m2 = M(X2)- [M(X)]2 Dimostrazione: σ2(X) = M(X-m)2 = M(X2 -2mX + m2 = M(X2) - M(2mX) + M(m2) = Sappiamo che m e' una costante quindi M(m2)= m2 Utilizziamo poi la considerazione che il valore medio del prodotto di una variabile casuale per una costante e' uguale alla costante per il valore medio della variabile casuale se vuoi vedere la dimostrazione = M(X2) -2mM(X) + m2 = essendo m = M(X) = M(X2) -2M(X)M(X) + [M(X)]2 = M(X2) -2[M(X)]2 + [M(X)]2 = M(X2)- [M(X)]2 Applichiamo la formula all'esempio precedente m = M(X) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6 + 4 · 1/6 + 5 · 1/6 + 6 · 1/6 = 21/6 M(X2) = 1 · 1/6 + 4 · 1/6 + 9 · 1/6 + 16 · 1/6 + 25 · 1/6 + 36 · 1/6 = 1/6 + 4/6 + 9/6 + 16/6 + 25/6 + 36/6 = 91/6 m2= 441 /36 quindi σ2(X) = M(X2) - [M(X)]2 = M(X2) - m2 = 91/6 - 441 /36 = 105/36 = 35/ 12 Come avevamo gia' trovato | .
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