Dimostrazione Vediamo come si ricava la formula della distribuzione di Poisson Ti avviso che, siccome dovremo fare delle approssimazioni, il valore trovato non e' la probabilita' vera, ma considerando probabilita' piccole e numero di casi molto elevato, la approssimera' bene Consideriamo un qualunque problema del tipo prove ripetute cioe' in distribuzione binomiale; supponiamo che n, numero dei casi possibili, sia molto grande; poniamo μ = p n Cominciamo a calcolare i vari valori della variabile aleatoria: ricordando che il valore generico vale Probabilita' = ( n k ) · pk · qn-k per k = 0, 1, 2,..... per k=0 avremo P(0) = ( n 0 ) · p0 · qn = qn = (1 - p)n = (1 - μ n )n Nell'ultimo passaggio ho moltiplicato p per n/n in modo da avere μ al numeratore e quindi ho n al denominatore Siccome il numero n deve essere molto grande calcolo il limite dell'espressione per n → ∞ lim   n → ∞    (1 - μ n )n = lim   n → ∞ [( 1 + 1 n/(-μ) )-n/μ ]-μ = Dentro parentesi tonda ho portato -μ al denominatore (regola della divisione fra due frazioni) e diviso la potenza n nelle due potenze -n/μ e -μ: posso farlo perche' rimoltiplicando mi torna n Ora approssimiamo considerando μ numero dato perche' prodotto di un numero molto grande per un numero molto piccolo, in tal caso posso portare il limite dentro parentesi quadra Veramente matematicamente non si potrebbe, ma siccome noi cerchiamo un valore approssimato tale approssimazione e' possibile e sara' sempre piu' vicina al valore reale quando n e' abbastanza grande e p abbastanza piccolo Quello che ottengo e' un limite notevole = [ lim   n → ∞ ( 1 + 1 n/(-μ) )-n/μ]-μ = e-μ Passiamo ora a calcolare il termine generico P(x) P(x) = ( n x ) · px · qn-x = n(n-1)(n-2)....(n-x+1) x! · px · qn-x = adesso moltiplico sia al numeratore che al denominatore per nx-1 in modo che al numeratore moltiplicando per nx-1 ottengo nx come primo fattore del prodotto = n(n-1)(n-2)....(n-x+1) · x! nx-1 nx-1 · px · qn-x = nx x! (n-1)(n-2)....(n-x+1) · · nx-1 · px · qn-x = Ora, avendo sopra il segno di frazione x-1 fattori li suddivido mettendo a ciascuno al denominatore il termine n (se rimoltiplico al denominatore mi torna xn-1); inoltre raccolgo assieme nx e px scrivendo (np)x; infine al posto di qx-1 metto (1-p)n-x; = (np)x  · x! (n-1)  · n (n-2)  · n (n-3)  · n ...... (n-x+1)  · n (1-p)n-x = Poniamo ora np = μ abbiamo 1 - p = 1 - p ·n/n = 1 - μ/n = μx  · x! (n-1)  · n (n-2)  · n (n-3)  · n ...... (n-x+1)  · n (1-μ/n)n-x = spezzo l'ultima potenza nelle sue componenti e scrivo le frazioni come somma di termini = μx  · x! (1 - 1   n ) (1 - 2   n ) (1 - 3   n ) ...... (1 - x   n ) (1- μ n )n · (1- μ n )-x e siccome il numero n deve essere molto grande calcolo il limite per n → ∞ lim   n → ∞ [ μx  · x! (1 - 1   n ) (1 - 2   n ) (1 - 3   n ) ...... (1 - x   n ) (1- μ n )n · (1- μ n )-x ] Come nel calcolo precedente consideriamo il primo fattore μx/x! come una costante essendo μ composto da n molto grande e p molto piccola; tutti gli altri fattori al limite valgono 1 eccetto il penultimo che e' il solito limite notevole e abbiamo gia' calcolato in cima alla pagina che vale e-μ, quindi otteniamo Px = μx x! e-μ Come vedi non e' una dimostrazione facile e ci da' solamente un valore approssimato della probabilita' reale, pero', tale valore e' molto comodo da utilizzare.