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Come ho gia' detto la funzione di densita' non esprime una probabilita'; infatti se hai una funzione continua come fai ad assegnare ad un punto una probabilita'? Prendiamo ad esempio la caduta di un oggetto su un piano determinato: come posso esprimere la probabilita' di impatto in un punto se un punto non ha dimensione? Allora dovro' sostituire al concetto di punto il solito concetto di intervallo per poter trovare una probabilita' effettiva: e' lo stesso ragionamento che ci ha portato a costruire l'analisi matematica basandola sul concetto di intervallo; Se considero un intervallo, anche se infinitesimo, allora per esso posso parlare della probabilita' di impatto con l'oggetto che cade Nel nostro caso, per poter parlare di probabilita' consideriamo la funzione di ripartizione e la pensiamo composta da intervalli infinitesimi di base dx e di altezza f(x) Come conseguenza avremo che la densita' di probabilita' e' legata all'area di questi rettangoli [base dx ed altezza f(x)] Cioe' la derivata della funzione di ripartizione equivale (a meno di infinitesimi di ordine superiore) al differenziale della funzione F(x) F'(x)dx = dF(x) = f(x)dx infatti dall'uguaglianza algebrica
dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx Cioe', in generale, l'incremento infinitesimo di una funzione e' uguale alla derivata della funzione stessa moltiplicata per il relativo incremento infinitesimo della x (a meno di infinitesimi di ordine superiore e quindi da non considerare perche' trascurabili) Intuitivamente F'(x) e' la derivata della funzione calcolate prendendo due punti sul grafico e facendo avvicinare il secondo punto al primo mentre dF(x) e' il differenziale che viene calcolato incrementando di un intervallino dx la tangente al grafico Ripassa il differenziale |
