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Passiamo ora a definire per la variabile aleatoria continua il concetto di valore medio Ricordo che il valore medio per la variabile discreta e' uguale alla somma dei prodotti dei valori della variabile per la rispettiva probabilita', e quindi, passando al caso continuo, la somma di tali prodotti deve diventare l'integrale; infatti l'integrale e' il limite delle somme dei rettangolini facendone diventare infinitesime le basi dx ed il simbolo di integrale e' la s medioevale che indica la somma Consideriamo la variabile casuale continua X che assuma tutti i valori nell'intervallo [a;b] e sia f(x) la sua funzione densita'e F(x) la sua funzione di ripartizione La variabile casuale X assume (a meno di infinitesimi) il valore x nell'intervallo [a;b] con probabilita' dF(x) = f(x)dx Allora il valore medio M(X) sara' dato dall'integrale sull'intervallo [a;b] del prodotto dei valori x della variabile aleatoria per la rispettiva probabilita' dF(x) = f(x)dx M(X) = ∫ab x dF(x) = ∫ab x f(x)dx Come esempio calcoliamo il valore medio per la funzione densita' trovata nell'esercizio della pagina precedente abbiamo la funzione densita' nell'intervallo [0;4]
M(X) = ∫ab xf(x)dx = ∫04 1/8 x2dx = [ 1/24 x3]04 = 64/24 - 0 = 8/3 | .
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