calcoli Risolvere l'integrale M(X2) = ∫0+∞   x2αe-αx dx = risolviamolo intanto come integrale indefinito, poi, sul risultato faremo le differenze da +∞ a 0 E' un integrale da risolvere per parti considerando x2 come il termine di cui conosciamo la derivata ed αe-αx come il termine di cui conosciamo l'integrale: la formula mnemonica e': ∫f g = f∫g -∫ [f '∫g] abbiamo f = x2 g = αe-αx f ' = 2x ∫ g = ∫αe-αx = - e-αx    vedi lo sviluppo in una nota precedente applico la formula ∫x2αe-αx dx = x2∫ αe-αx dx- [∫ 2x ∫αe-αx dx] dx = = x2(- e-αx)- [∫ 2x (-e-αx) dx = eseguo i calcoli = -x2 e-αx + 2 ∫ xe-αx dx = ora lo scrivo in modo da avere la derivata dell'esponente dentro il segno di integrale = -x2 e-αx + 2/α ∫ xαe-αx dx =     questo ultimo integrale lo abbiamo gia' sviluppato per calcolare il valore medio = -x2 e-αx + 2 α ( -x e-αx - e-αx   α ) = = -x2 e-αx -   2x e-αx α 2 e-αx - α2 Ora torniamo all'integrale definito ∫0+∞   x2αe-αx dx = -x2 e-αx -   2x e-αx α 2 e-αx - α2 +∞   0 = sostituendo +∞ ai primi due termini -x·e-αx e -x·e-αx ottengo la forma indeterminata ∞·0 che posso risolvere applicando la regola di De l'Hôpital due volte al primo termine ed una volta al secondo Basta fare le derivate dei fattori e sostituire ad x il simbolo +∞ Primo termine applico una prima volta la regola     2x·(-αe-αx)    ed ho ancora una forma indeterminata ∞·0 applico la regola una seconda volta     2 ·(α2e-αx)= 2 ·[α2e-α(+∞)]= 2 ·(α2e-∞)= 2 ·0 = 0 ed ora il termine vale 0 Per i secondo termine basta applicare la regola una volta sola    -2 ·(-αe-αx)= -2αe-αx = -2αe-α(+∞) = -2αe-∞ = 0 Quindi ho, sostituendo ad ogni termine prima +∞ e poi 0: = 0 + 0e0 - 2·0 α 2·0e0 + - α e-∞ α2 2e0 +   α2 = 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 2 α2 quindi M(X2) = 2 α2