Interpolazione diretta Si parla di interpolazione diretta quando ai numeri crescenti corrispondono dei dati crescenti (cioe' se crescono i numeri della prima colonna della tabella allora crescono anche i numeri della seconda) Prima facciamo un esempio pratico partendo da un tipo di tabelle di solito usato alle scuole medie: la tabella dei cubi riportiamone un piccolo stralcio Numeri    cubi    123 1860867 124 1906624 125 1953125 126 2000376 Supponiamo di dover calcolare (124,7)3 Quando il nostro numero passa da 124 a 125 si incrementa di 1 (l'incremento e' di quanto il primo numero aumenta per diventare il secondo) contemporaneamente il cubo si incrementa da 1906624 a 1953125 cioe' di 1953125-1906624=46501 significa che ad un incremento di 1 del numero corrisponde un incremento di 46501 per il cubo noi siccome cerchiamo il cubo di 124,7 (chiamiamolo x) dovremo vedere a quanto corrisponde un incremento di 0,7 del numero: supponiamo che gli incrementi siano proporzionali, allora potremo scrivere 1 : 46501 = 0.7 : x risolvo la proporzione x = 0,7 ·46501 = 32550,7 quindi l'incremento che corrisponde a 0,7 e' 32550,7 e quindi avremo (124,7)3 = 1906624 + 32550,7 = 1939174,7 Naturalmente tale valore e' approssimato e differisce in qualcosa dal valore effettivo (1939096,2), pero' ci permette di tenere sotto controllo l'errore senza farlo diventare troppo incisivo e quando non si potra' fare di meglio dovremo accontentarci Ora trasformiamo l'esempio in formule consideriamo una tabella e due sue righe Numeri x Risultati y ....... ....... x1 y1 x2 y2 ....... ....... Supponiamo di dover calcolare il valore (chiamiamolo y0) corrispondente ad x0 compreso fra i valori x1 e x2 Numeri x Risultati y ....... ....... x1 y1 x0 y0 x2 y2 ....... ....... Il ragionamemto fa fare e': quando il numero x passa da x1 ad x2 allora il risultato y passa da y1 ad y2 e quando il numero x passa da x1 ad x0 il risultato y passa da y1 a qualcosa che dobbiamo trovare (y0) Scriviamolo in formule quando il numero x passa da x1 ad x2 si scrive x2-x1 il risultato y passa da y1 ad y2 si scrive y2-y1 quando il numero x passa da x1 ad x0si scrive x0-x1 il numero y passa da y1 a y0 si scrive y0-y1 Vale la proporzione (x2 - x1):(y2 - y1) = (x0 - x1):(y0 - y1) devo trovare y0, prima risolvo la proporzione y0 - y1 = (x0 - x1)·(y2 - y1) (x2 - x1) ora trovo y0 ed ottengo la formula dell'interpolazione diretta y0 = (x0 - x1)·(y2 - y1) (x2 - x1) + y1 Come esercizio vediamo di applicare la formula trovata all'esempio precedente Ho come dati 1243 = 1906624 1253 = 1953125 devo trovare 124,73 = y0 applico la formula y0 = (x0 - x1)·(y2 - y1) (x2 - x1) + y1 = (124,7 - 124)·(1953125 - 1906624) 125 - 124 + 1906624 = 0,7·46501 + 1906624 = 32550,7 + 1906624 = 1939174,7 Vediamo infine un esempio considerando la colonna dei numeri crescente mentre l'insieme dei risultati e' decrescente, tipo quello che succede quando consideriamo gli inversi dei numeri naturali n → 1/n Possiamo applicare comunque sempre la stessa formula (avremo pero' come decremento un numero negativo) Numero Inverso 124 0,008064516 124,7 y0 125 0,008000000 applico la formula y0 = (x0 - x1)·(y2 - y1) (x2 - x1) + y1 = (124,7 - 124)·(0,008000000 - 0,008064516) 125 - 124 + 0,008064516 = = 0,7·(-0,000064516) + 0,008064516 = -0,000045161 + 0,008064516 = 0,008019355