Esercizio sul calcolo del capitale ad interesse composto per tempi interi


Ho impiegato una somma per 5 anni ad interesse composto al tasso i=2,5% ed oggi ho ricevuto un montante di € 12655,65;
dite quale somma ho depositato 5 anni fa

Dati
M5 = 12655,65 €
t = 5
i = 2,50% = 0,025
Faccio riferimento alla formula
C = Mt

(1+i)t
  • Utilizzo la calcolatrice
    Imposto, sullo schermo il calcolo
    12655,65:((1+0,025)5)
    ottengo 11185,750514985 che approssimo a 11185,75

    il capitale e' di € 11185,75

  • Siccome una divisione fra numeri con molte cifre e' piuttosto laboriosa trasformiamo in logaritmo tutta l'espressione
    Log C = Log M5

    (1+0,025)5     		= Log 12655,65 - Log(1,025)5 =
    = Log 12655,65 - 5 Log(1,025) =
    Calcolo il primo logaritmo sulle tavole logaritmiche La caratteristica e' 4 essendo il mio numero compreso fra 10000 e 100000
    Per calcolare la mantissa cerco 1265,565; tale valore e' compreso fra 1265 e 1266
    1265         →    10209   
         34
    1266         →    10243   
    Di fianco ai due risultati trovi il numero 34 che corrisponde alla differenza fra i due valori della mantissa mentre la differenza fra il mio valore e quello minore e'
    1265,565-1265 = 0,565
    Nella tabella del 34 cerco i numeri 5 6 5 spostando per ogni risultato la virgola
    5    → 17,0      
    6    → 2,04  
    5    → 0,17
    quindi
    10209        +
    17,0     +
    2,04   +
    0,17   =
    10228,11    
    quindi scrivo
    Log 1265,565 = 4,1022811

    Calcolo il secondo logaritmo leggo sulle tavole logaritmiche a 7 decimali   
    Log 1,0250 = 0,0107239
    Quindi
    5Log 1,0250 = 5·0,0107239 = 0,0536195

    ed ho
    Log 12655,65 - 5 Log(1,025) = 4,1022811 - 0,0536195 = 4,0486616 Questo e' il logaritmo, ora trovo l'antilogaritmo (lo trasformo in valore normale)
    AntiLog 4,0486616
    Essendo la caratteristica 4 il valore dell'antilogaritmo sara' compreso fra 10000 e 100000, quindi avremo cinque cifre significative prima della virgola
    In questo caso, visto il valore della mantissa, posso cercare nelle tavole a 7 decimali
    la mia mantissa a 7 decimali (0486616 ) e' compreso fra i numeri (leggo le tavole cercando nelle mantisse a 7 decimali):
    0486360      →    11185   
    388
    0486748      →    11186   
    Di fianco ai due risultati trovi il numero 388 che corrisponde alla differenza fra i due valori della mantissa mentre la differenza fra il mio valore e quello minore e'
    0486616-0486360 = 256
    Nella tabella del 388 cerco 256;
    un numero minore e' 232,8 cui corrisponde la sesta cifra del nostro numero, cioe' 6
    mi resta 256-232,8 = 24,8;
    Sposto di un posto la virgola e nella tabella del 388 cerco 248;
    un numero minore e' 232,8 cui corrisponde la settima cifra del nostro numero, cioe' 6
    mi resta 248-232,8 = 16,8;
    Sposto di un posto la virgola e nella tabella del 388 cerco 168;
    il numero piu' vicino e' 155 cui corrisponde l'ottava cifra del nostro numero, cioe' 4
    quindi scrivo
    C = AntiLog 4,4,0486616 = 11185,664
    e, approssimando
    il capitale e' di € 11185,66

Come vedi l'errore dovuto all'interpolazione e' dell'ordine di 10 centesimi di euro: da notare che ho fatto il logaritmo anche del montante e quindi l'errore e' maggiore di quello che si avrebbe facendo solamente il logaritmo del fattore (1+i)n
Per curiosita' calcoliamo con i logaritmi solamente il fattore (1+i)n e poi dividiamo con la calcolatrice: vediamo di quanto si riduce l'errore